河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学（含答案）

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河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 双曲线渐近线方程为
A B. C. D.
2. 关于空间向量，下列运算错误的是（）
A. B.
C. D.
3. 已知椭圆离心率为，且过点，则的方程为（）
A. B.
C. D.
4. 已知，，，若，，共面，则（）
A. 0 B. 1 C. 2 D. －1
5. 图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（）
A. B. C. D.
6. 已知椭圆，过点的直线交于、两点，且是的中点，则直线的斜率为（）
A. B. C. D.
7. 若动圆过定点，且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程为（）
A. （） B. （）
C. （） D. （）
8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（）
A. 直线过点 B. 直线的倾斜角为
C. D. 是等边三角形
10. 圆和圆的交点为，，点在圆上，点在圆上，则（）
A. 直线的方程为
B. 线段的中垂线方程为
C
D. 点与点之间的距离的最大值为8
11. 若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，， 分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（）
A. 若，则
B. 存在点H，使得平面
C. 线段长度的最小值是
D. 存在点H，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线与互相垂直，则______.
13. 如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________.
14. 已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知在中，，，，记的外接圆为圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且与圆相切的直线的方程.
16. 如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
17. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与轴垂直的直线交于两点，是与的一个公共点，，.
（1）求与标准方程；
（2）过点且与相切的直线与交于点，求.
18. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面.
（1）证明：.
（2）点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
19. 已知为坐标原点，双曲线的左 右顶点分别为，圆过点，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且.
（1）求的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与双曲线的左 右两支的交点分别为，，连接并延长，交双曲线于点，记直线与直线的交点为，证明：点在曲线上.
河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】C
2.
【答案】D
3.
【答案】A
4.
【答案】D
5.
【答案】C
6.
【答案】A
7.
【答案】D
8.
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】ABD
10.
【答案】ABD
11.
【答案】ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】1
13.
【答案】6
14. __.
【答案】2
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）方法一，求两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定半径，从而得到圆的方程；
方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程.
（2）先求圆心与点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解切线方程.
【小问1详解】
（方法一）直线的方程为，、的中点为，
所以线段的中垂线方程为，
直线的方程为，、的中点为，
线段的中垂线方程为.
直线与直线的交点为，即圆的圆心为.
点与点的距离为，
即圆的半径为，所以圆的标准方程为.
（方法二）设圆的标准方程为，
则，
解得
故圆的标准方程为
【小问2详解】
圆的圆心为，，直线的斜率为，
所以切线斜率为，所求切线方程为，
整理得.
16.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量坐标运算，即可证明线面平行；
（1）由空间向量的坐标运算结合二面角的公式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则即
令，则.
证明：.
因为，所以，
平面，所以平面.
【小问2详解】
易知为平面的一个法向量，且.
.
易得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
17.
【解析】
【分析】（1）由抛物线的定义代入计算，即可求得的标准方程，再将点的坐标代入椭圆方程，即可得到的标准方程；
（2）根据题意，联立直线与抛物线方程，结合弦长公式，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
记，则抛物线的方程为，其准线方程为.
因为，所以，解得，则的标准方程为.
不妨设点在第一象限，记，因为，
所以，解得.因为，所以，即.
由解得
所以的标准方程为.
【小问2详解】
不妨设点在第一象限，则.
设直线.
联立得.
由，解得，则.
设.
联立得，则，
故.
18.
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证平面，再由其性质定理即可证明；
（2）根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接.
因为为等边三角形，所以.
因为为等腰直角三角形，且，所以.
因为平面平面，所以平面，
所以.
【小问2详解】
因为平面平面，平面平面平面，所以平面.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则
.
设平面的法向量为，
则即
令，则，所以.
设直线与平面所成的角为，
则
，当且仅当时，等号成立.
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
19.
【解析】
【分析】（1）由圆过点得，由已知得是等边三角形，进而得渐近线的斜率，即可求出，即可得出的方程；
（2）设直线，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理得，将直线与直线的方程变形可得.由及计算可证得结论.
【小问1详解】
因为圆过点，得，所以，.
在中，，
所以，
所以是等边三角形，.
双曲线一条渐近线的斜率为，即，所以.
故的方程为.
【小问2详解】
证明点在曲线上，即证明点在曲线上.
设直线，则.
联立得，
则.
直线的方程为，直线的方程为
将直线与直线的方程变形可得,
即,
得，
即，
即，
化简可得.
得，
，
，
，
化简得.
将代入可得，
即点在曲线上.
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