2024-2025学年云南省玉溪第一中学高二上学期第一次月考数学试题(含答案）

2024-2025学年云南省玉溪第一中学高二上学期第一次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法中，正确的有( )
A. 过点且在、轴截距相等的 直线方程为
B. 直线的倾斜角为
C. 直线在轴上的截距为
D. 过点并且倾斜角为的直线方程为
2.在平行六面体中，，则( )
A. B. C. D.
3.设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是( )
A. B. C. D.
4.已知，，则，的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，则到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
7.在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若为钝角，则
D. 若在上的投影向量为，则
8.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离结合上述观点，可得的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于方程表示的圆，下列叙述中正确的是
A. 圆心在直线上 B. 其圆心在轴上
C. 过原点 D. 半径为
10.对于直线，以下说法正确的有( )
A. 的充要条件是 B. 的充要条件是
C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为
11.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两平行直线和间的距离是 ．
13.点关于直线：的对称点的坐标为 ．
14.给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：规定：
为同时与，垂直的向量；
，，三个向量构成右手系如图；
．
如图，在长方体中，，给出下列四个结论：
；
；
；
其中，正确结论的序号是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个顶点分别为，，．
Ⅰ求边上的高所在直线的方程
Ⅱ求的面积．
16.本小题分
如图，在梯形中，分别为边，的中点，沿将梯形翻折，使平面平面．
证明：；
求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知圆经过原点和点，且它的圆心在直线上
求圆的方程；
若点为圆上的动点，定点，求线段的中点的轨迹方程．
18.本小题分
如图在四棱锥中，，，，，，，是的中点．
试在上确定点的位置，使、、、四点共面，并证明；
求点到平面的距离；
在棱上是否存在点，使得半平面与半平面所成二面角的余弦值为，若存在，求，若不存在，说明理由．
19.本小题分
是直线外一点，点在直线上点与点任一点均不重合，我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记在中，角的对边分别是，点在射线上
若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值；
若，由点对施以视角运算，，求的周长；
若，，由点对施以视角运算，，求的最小值．
参考答案
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15.解：Ⅰ由题可得直线的斜率，
所以边上高的斜率为，
所以边上高的方程为：，即．
Ⅱ由Ⅰ及条件知，的直线方程为：，即，
顶点到直线的距离为，
又，
所以的面积为．
16.解：证明：沿将梯形翻折后，
因为平面平面，
平面平面，
平面，
所以平面又，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
所以，
因为，所以；
易得，
，，
设平面的法向量为，
则 ，即
令，得，
故平面的一个法向量为，
设与平面所成的角为，
则
．
故与平面所成角的正弦值为．

17.解：由已知可设圆心，
又由已知得，解得：．
于是圆心，半径．
所以，圆的方程为．
设，，
则，
，点是线段的中点，
，，
可得：．
所以，
整理得，
故所求的轨迹方程为：．
18.解：
取中点，连接、，
因为、分别为、的中点，所以，
又因为，则，所以，当为的中点时，、、、四点共面．
取中点，连接、，
因为，，则，所以，，
则为等腰直角三角形，所以，，且，
因为，，为的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
又因为，所以，则，
因为，则，所以，，，
因为，、平面，所以，平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
所以，，，，
设平面的法向量为，则
取，可得，
所以，点到平面的距离为．
假设在棱上存在点满足题设条件，
设点，，，
设平面的一个法向量为，则 ，
取，则，，故，
，，
设平面的一个法向量为，则
取，则，，故，
设半平面与半平面所成二面角的平面角为，为锐角，
所以，
所以，即，舍去，
此时，，则，
故在棱上存在点，当时，
半平面与半平面所成二面角的余弦值为．

19.解：因为是角的平分线，
所以且在线段上，
所以，
又，所以；
因为点在射线上，，且，所以在线段外，且，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，解得负值已舍去，
所以，
所以的周长为．
因为，所以，则，
因为，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．

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