2024-2025学年河南省“九师联盟”高二上学期11月质量检测数学试题（含答案）

2024-2025学年河南省“九师联盟”高二上学期11月质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.“”是“方程表示双曲线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆的位置关系是( )
A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法确定
6.已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则的离心率是( )
A. B. C. D.
8.已知圆，过轴上的点作直线与圆交于，两点，若存在直线使得，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，且上的动点到的距离的最大值是，则( )
A. B. 的离心率为
C. 弦的长可能等于 D. 的周长为
10.平行六面体的底面是正方形，，，，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 四边形的面积为
D. 若，则点在平面内
11.关于曲线，下列说法正确的是( )
A. 曲线关于直线对称
B. 曲线围成的区域面积小于
C. 曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是
D. 曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，是实数，则的最小值是 ．
13.设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 ．
14.设直线：与圆：交于，两点，对于任意的实数，在轴上存在定点，使得的平分线在轴上，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，直线的方程为．
证明：无论取何值，直线必过第三象限
若点，到直线的距离相等，求的值．
16.本小题分
设，，，，圆的圆心在轴的正半轴上，且过，，，中的三个点．
求圆的方程
若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
在如图所示的空间几何体中，四边形是平行四边形，平面平面，，，，为的中点．
求证：平面
线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求出的值若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知是椭圆上的一点，是的一个焦点，，为坐标原点．
求的方程
，，，是上的四个点，直线与直线相交于点．
若，分别为与，轴的正半轴的交点，求直线的斜率
若直线的斜率为，求面积的最大值，并求出此时直线的方程．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比．
若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明：是与平行的直线
已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有，两个交点在的左侧，过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点．
求的取值范围
若直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值．
参考答案
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15.【解答】
证明：直线的方程为，即，所以直线过定点，因为位于第三象限，所以无论取何值，直线必过第三象限；
解：由点到直线的距离公式知：，即，所以或，解得或．
16.【解答】解：
若圆经过，，则圆心必在的垂直平分线上，不合题意；根据题意得圆只能过点，，三点，由题意可求得线段的垂直平分线的方程为，线段的垂直平分线的方程为，联立方程组，解得，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为；
设，因为，所以，化简得，所以，根据题意有，解得．
17.证明：因为，是的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，，，平面，所以平面．
解：以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，过点平行于的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为，，所以，则，
所以，，，，
设，，则．
设平面的法向量为，则
取，则，，所以平面的一个法向量为，
显然是平面的一个法向量，
所以，，
解得或舍，
所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，
此时．
18.解：因为是椭圆上的一点，所以，即，
又，所以，
故的方程为．
若，分别为椭圆与，轴的正半轴的交点，则，，
则直线的方程是，即，代入椭圆的方程，消去并整理得，
解得或，因为，所以，则，即，
同理可得，
所以．
因为直线的斜率为，所以可设直线的方程为，，
代入消去并整理得，
设，，则，，，
，
又点到直线的距离，
所以的面积，等号仅当，即时成立，
显然满足，所以面积的最大值是．
此时，直线的方程是，即或．
19.证明：设不过原点的直线的方程是都是常数，且，不同时为，，
则曲线的方程是，且，即，
因为，，，都是常数，且，不同时为，，，所以曲线是一条直线，且与直线平行
解：伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，
所以曲线的方程是，即．
与轴的两个交点，的坐标分别是，，因为直线过点，斜率为，
所以直线的方程为，代入，消去并整理得，
设，，则，，
，，
因为与在轴的右侧有两个交点，所以，且，
解得或，所以的取值范围是
证明：由知或，所以，
，
，
所以为定值．
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