2024-2025学年山东省临沂市部分县区(河东区、沂水县等)高二上学期学科素养水平监测(期中)数学试卷(含答案)

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名称 2024-2025学年山东省临沂市部分县区(河东区、沂水县等)高二上学期学科素养水平监测(期中)数学试卷(含答案)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2024-11-27 09:38:30

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文档简介

2024-2025学年山东省临沂市部分县区(河东区、沂水县等)高二上学期学科素养水平监测(期中)数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.向量,,若,则( )
A. B. ,
C. , D. ,
2.过,两点的直线的倾斜角为,则等于( )
A. B. C. , D. ,
3.点到直线的距离最大时,其最大值以及此时的直线的方程分别为( )
A. B.
C. D.
4.已知点,,点是圆上任意一点,则面积的最小值( ) 为
A. B. C. D.
5.已知,是直线的方向向量,是平面的法向量,若,则,的关系式为( )
A. B. C. D.
6.如图,在正方体中,,分别为棱和的中点,则和所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知为圆上任意一点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的一个焦点为,点,是上关于原点对称的两点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知直线和直线,下列说法正确的是( )
A. 始终过定点 B. 若,则或
C. 若,则或 D. 当时,经过第三象限
10.如图,点是棱长为的正方体的表面上一个动点,则( )
A. 当在平面上运动时,四棱锥的体积不变
B. 当在线段上运动时,与所成角的取值范围是
C. 若是的中点,当在底面上运动,且满足平面时,长度的最小值是
D. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
11.已知,分别是椭圆的左、右焦点,且,直线与椭圆的另一个交点为,且,则下列结论正确的是( )
A. 椭圆的长轴长是短轴长的倍 B. 线段的长度为
C. 椭圆的离心率是 D. 的周长为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.设空间两个单位向量,与向量的夹角都等于,则等于 不重合.
13.由曲线围成的图形的面积为 .
14.定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”已知椭圆是“西瓜椭圆”,则 若“西瓜椭圆”的左焦点为,直线与椭圆交于,两点,以线段为直径的圆过点,则 .
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点,边上的高所在直线方程为,边上的中线所在直线方程为求
顶点的坐标
直线的方程.
16.本小题分
如图,在四棱锥中,底面满足,,底面,且,.
求四棱锥的体积
求平面与平面夹角的余弦值.
17.本小题分
已知圆经过点和,并且圆心在直线上,
求圆的标准方程
直线交圆于,两点,若直线,的斜率之和为求证:直线的斜率是定值,并求出该定值.
18.本小题分
定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”,如果两个椭圆的“特征三角形”相似,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,并将三角形的相似比称为椭圆的相似比已知椭圆.
若椭圆,试判断与是否相似如果相似,求出与的相似比如果不相似,请说明理由.
写出与椭圆相似,且短半轴长为,焦点在轴上的椭圆的标准方程若在椭圆上存在两点,关于直线对称,求实数的取值范围.
19.本小题分
如图,已知四棱锥的底面是平行四边形,侧面是等边三角形,,,.
证明:平面平面
求到平面的距离
设为侧棱上一点,四边形是过,两点的截面,且平面,是否存在点,使得平面与平面夹角的余弦值为若存在,求的值若不存在,说明理由.
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解:如图边上的高所在方程为,
的斜率
的斜率
的方程为即,
联立解得
设,
即,
又在上,即,
联立角解得,
,代入两点式得即
的方程为

16.解:平面,,,且,,
所以四棱锥的体积;
分别以所在直线为轴,轴、轴,建立如图空间直角坐标系,
如图:
则,,,,
,,,
平面,
,又,又,,平面,
平面,
是平面的一个法向量,
设平面的法向量为,
则即,
令,则,
,,
设平面与平面的夹角为,
则,.

17.解设所求圆的方程为,
由题设,得,解得:,
所求圆的标准方程是;
设直线方程为:,
由,
消去并整理得,
得,
而直线的方程为:,
将上述中的换为,得,
于是得直线的斜率为,
直线的斜率是定值,该定值为.
18.解椭圆与相似,
椭圆的“特征三角形”边长为的等边三角形,
椭圆的“特征三角形”是边长为的等边三角形,
椭圆与椭圆的“特征三角形”相似,且相似比为,
椭圆与相似,且相似比为.
由可知椭圆的“特征三角形”为正三角形,
,故,
设椭圆的方程为,
设直线的方程为,,,的中点为
由消去并整理,得,
则,即,
,,
由的中点在直线,得解得,
代入,得,
,,
实数的取值范围是
19.解:证明:,,,、平面,平面
又平面平面平面
取的中点,连接,是等边三角形.
,又平面平面,平面平面
平面
取的中点,连接,则
平面平面
又,平面,,
故,,两两垂直,以为原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系
,,,,
设平面的法向量为,
令,则,,又
到平面的距离
连接,平面,平面平面,
不妨设,则,,
设,则则,,,故E,
设,则即,,,故F
设平面的法向量为,则

解得,设,则故

化简,得,解得,或.
设,则,
设则,
解得,,,
当时,,,解得,满足要求
当时,,解得,满足要求.
故存在点,使得平面与平面夹角的余弦值为此时,的值为或.
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