2024-2025学年山东省临沂市部分县区（河东区、沂水县等）高二上学期学科素养水平监测（期中）数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省临沂市部分县区（河东区、沂水县等）高二上学期学科素养水平监测（期中）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.向量，，若，则( )
A. B. ，
C. ， D. ，
2.过，两点的直线的倾斜角为，则等于( )
A. B. C. ， D. ，
3.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为( )
A. B.
C. D.
4.已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值( ) 为
A. B. C. D.
5.已知，是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则，的关系式为( )
A. B. C. D.
6.如图，在正方体中，，分别为棱和的中点，则和所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知为圆上任意一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的一个焦点为，点，是上关于原点对称的两点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线和直线，下列说法正确的是( )
A. 始终过定点 B. 若，则或
C. 若，则或 D. 当时，经过第三象限
10.如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，则( )
A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
11.已知，分别是椭圆的左、右焦点，且，直线与椭圆的另一个交点为，且，则下列结论正确的是( )
A. 椭圆的长轴长是短轴长的倍 B. 线段的长度为
C. 椭圆的离心率是 D. 的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于 不重合．
13.由曲线围成的图形的面积为 ．
14.定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”已知椭圆是“西瓜椭圆”，则 若“西瓜椭圆”的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为求
顶点的坐标
直线的方程．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，．
求四棱锥的体积
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知圆经过点和，并且圆心在直线上，
求圆的标准方程
直线交圆于，两点，若直线，的斜率之和为求证：直线的斜率是定值，并求出该定值．
18.本小题分
定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比已知椭圆．
若椭圆，试判断与是否相似如果相似，求出与的相似比如果不相似，请说明理由．
写出与椭圆相似，且短半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程若在椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，．
证明：平面平面
求到平面的距离
设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求的值若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：如图边上的高所在方程为，
的斜率
的斜率
的方程为即，
联立解得
设，
即，
又在上，即，
联立角解得，
，代入两点式得即
的方程为

16.解：平面，，，且，，
所以四棱锥的体积；
分别以所在直线为轴，轴、轴，建立如图空间直角坐标系，
如图：
则，，，，
，，，
平面，
，又，又，，平面，
平面，
是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则即，
令，则，
，，
设平面与平面的夹角为，
则，．

17.解设所求圆的方程为，
由题设，得，解得：，
所求圆的标准方程是；
设直线方程为：，
由，
消去并整理得，
得，
而直线的方程为：，
将上述中的换为，得，
于是得直线的斜率为，
直线的斜率是定值，该定值为．
18.解椭圆与相似，
椭圆的“特征三角形”边长为的等边三角形，
椭圆的“特征三角形”是边长为的等边三角形，
椭圆与椭圆的“特征三角形”相似，且相似比为，
椭圆与相似，且相似比为．
由可知椭圆的“特征三角形”为正三角形，
，故，
设椭圆的方程为，
设直线的方程为，，，的中点为
由消去并整理，得，
则，即，
，，
由的中点在直线，得解得，
代入，得，
，，
实数的取值范围是
19.解：证明：，，，、平面，平面
又平面平面平面
取的中点，连接，是等边三角形．
，又平面平面，平面平面
平面
取的中点，连接，则
平面平面
又，平面，，
故，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系
，，，，
设平面的法向量为，
令，则，，又
到平面的距离
连接，平面，平面平面，
不妨设，则，，
设，则则，，，故E，
设，则即，，，故F
设平面的法向量为，则
即
解得，设，则故
故
化简，得，解得，或．
设，则，
设则，
解得，，，
当时，，，解得，满足要求
当时，，解得，满足要求．
故存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为此时，的值为或．
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