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专题14.3 因式分解常考解法专训
题型一：提公因式法
题型二：运用公式法
题型三：提公因式法与公式法综合
题型四：分组分解法
题型五：十字相乘法
题型六：因式分解的阅读理解问题
一．解答题（共60小题）
1．（2024秋 闵行区校级期中）因式分解：．
2．（2023秋 甘德县校级期末）分解因式：
3．（2023秋 滨海新区期末）因式分解：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
4．（2022秋 西青区校级期末）分解因式：
（1）；
（2）．
5．（2023秋 西安区期末）因式分解：．
6．（2022秋 白云区期末）分解因式：
（1）；
（2）．
7．（2022秋 番禺区校级期末）因式分解：
（1）；
（2）．
8．（2023秋 大庆期中）因式分解：
（1）；
（2）．
9．（2023秋 唐河县期中）把下列多项式分解因式．
（1）；
（2）．
10．（2022秋 东丽区期末）因式分解：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
11．（2023秋 五华区校级期中）分解因式：．
12．（2022秋 沐川县期末）分解因式：．
13．（2023秋 周村区期中）分解因式：
（1）；
（2）．
14．（2023秋 洮北区校级期末）因式分解：．
15．（2022秋 黄陂区校级期末）分解因式：
（1）；
（2）．
16．（2024秋 泉州期中）分解因式：
（1）；
（2）．
17．（2024秋 榆树市校级期中）因式分解下列各题：
（1）；
（2）．
18．（2023秋 沈丘县期末）因式分解
（1）．
（2）．
19．（2023秋 淄川区期末）分解因式：
（1）；
（2）．
20．（2023秋 广水市期末）因式分解：
（1）
（2）．
21．（2024秋 泉州期中）因式分解：
（1）；
（2）．
22．（2024秋 安溪县期中）因式分解：
（1）；
（2）．
23．（2024秋 宜阳县期中）分解因式．
（1）；
（2）．
24．（2023秋 重庆期末）因式分解：
（1）；
（2）．
25．（2024秋 东湖区校级期中）分解因式：
（1）
（2）
26．（2024秋 梁平区期中）分解因式：
（1）；
（2）．
27．（2024秋 海淀区校级期中）分解因式：
（1）；
（2）．
28．（2024秋 北京期中）把下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
29．（2024秋 莱西市期中）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
30．（2024秋 洛宁县期中）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）．
31．（2024秋 泉州期中）因式分解：
（1）；
（2）．
32．（2023秋 沙坪坝区校级期末）把下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
33．（2023秋 秦安县期末）因式分解：
（1）；
（2）．
34．（2024秋 鼓楼区校级期中）因式分解：
（1）；
（2）．
35．（2023秋 丰泽区校级期中）因式分解
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
36．（2023秋 东坡区校级期中）因式分解：
（1）；
（2）．
37．（2023秋 沂源县期中）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
38．（2022秋 射洪市期末）分解因式：
（1）；
（2）．
39．（2022秋 抚顺县期末）分解因式：
（1）；
（2）．
40．（2023秋 北林区校级期末）因式分解：
①；
②；
③．
41．（2024秋 西城区校级期中）因式分解：
（1）；
（2）．
42．（2024秋 海淀区校级期中）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）．
43．（2023秋 市中区校级期中）把下列多项式因式分解：（必须要写过程）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
44．（2023秋 齐河县校级期中）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
45．（2023秋 壶关县期中）把下列多项式分解因式．
（1）；
（2）．
46．（2022秋 平昌县期末）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
47．（2022秋 大兴区校级期末）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）．
48．（2024秋 如东县期中）分解因式：
（1）；
（2）．
49．（2024秋 东城区校级期中）因式分解
（1）；
（2）．
50．（2024秋 龙华区校级期中）分解因式：
（1）（2）；
（3）．
（4）（用十字相乘法）．
51．（2023春 昌黎县期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步），
（第二步），
（第三步），
（第四步），
（1）该同学第二步到第三步运用 进行因式分解．
（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
52．（2023秋 伊川县期中）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否符合题意？若不符合题意，请直接写出因式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
53．（2023秋 东营期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，设，则原式．
再将代入，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．
请你完成下列各题：
（1）因式分解：；
（2）因式分解：．
54．（2024春 成安县期末）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
．提取公因式法
．平方差公式法
．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式进行因式分解．
55．（2023秋 陇西县校级期末）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原即可．解：设．原式．
问题：
（1）该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果 ；
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
56．（2022秋 方城县期末）学完因式分解后，小亮同学总结出了因式分解的流程图，如图，
下面是小亮同学的因式分解过程：
①
②
③
回答下面的问题：
（1）①完成了流程图的第 步；
（2）②完成了流程图的第 步；
（3）将③的结果写在横线上 ．
57．（2023秋 临潼区期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）因式分解：；
（2）因式分解：．
58．（2023秋 鼓楼区校级期末）材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：．
（1）分解因式：；
（2）若，都是正整数且满足，求的值；
（3）若，为实数且满足，，求的最小值．
59．（2023秋 东城区期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
（1）用十字相乘法分解因式：；
（2）用十字相乘法分解因式：；
（3）结合本题知识，分解因式：．
60．（2024秋 蓬江区校级期中）阅读材料，解决问题
【材料1】将形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
如，中，常数项，一次项系数，；同理，中，常数项“” ，一次项系数“” ，
．
【材料2】因式分解：
解：把看成一个整体，令，则
原式，再将重新代入，得：原式．
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，因式分解；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：；
②分解因式：．
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专题14.3 因式分解常考解法专训
题型一：提公因式法
题型二：运用公式法
题型三：提公因式法与公式法综合
题型四：分组分解法
题型五：十字相乘法
题型六：因式分解的阅读理解问题
一．解答题（共60小题）
1．（2024秋 闵行区校级期中）因式分解：．
【解析】原式
．
2．（2023秋 甘德县校级期末）分解因式：
【解析】
，
．
3．（2023秋 滨海新区期末）因式分解：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）原式
；
（Ⅱ）原式．
4．（2022秋 西青区校级期末）分解因式：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
5．（2023秋 西安区期末）因式分解：．
【解析】原式
．
6．（2022秋 白云区期末）分解因式：
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
7．（2022秋 番禺区校级期末）因式分解：
（1）；
（2）．
【解析】（1）；
（2）．
8．（2023秋 大庆期中）因式分解：
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
9．（2023秋 唐河县期中）把下列多项式分解因式．
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
10．（2022秋 东丽区期末）因式分解：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）原式
；
（Ⅱ）原式
．
11．（2023秋 五华区校级期中）分解因式：．
【解析】原式
．
12．（2022秋 沐川县期末）分解因式：．
【解析】原式，
，
．
13．（2023秋 周村区期中）分解因式：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
14．（2023秋 洮北区校级期末）因式分解：．
【解析】原式
．
15．（2022秋 黄陂区校级期末）分解因式：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
16．（2024秋 泉州期中）分解因式：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
17．（2024秋 榆树市校级期中）因式分解下列各题：
（1）；
（2）．
【解析】（1）；
（2）．
18．（2023秋 沈丘县期末）因式分解
（1）．
（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
19．（2023秋 淄川区期末）分解因式：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
20．（2023秋 广水市期末）因式分解：
（1）
（2）．
【解析】（1）；
（2）．
21．（2024秋 泉州期中）因式分解：
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
22．（2024秋 安溪县期中）因式分解：
（1）；
（2）．
【解析】（1）；
（2）
．
23．（2024秋 宜阳县期中）分解因式．
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
24．（2023秋 重庆期末）因式分解：
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
25．（2024秋 东湖区校级期中）分解因式：
（1）
（2）
【解析】（1）原式；
（2）原式．
26．（2024秋 梁平区期中）分解因式：
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
27．（2024秋 海淀区校级期中）分解因式：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
28．（2024秋 北京期中）把下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
29．（2024秋 莱西市期中）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】（1）；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
30．（2024秋 洛宁县期中）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式
．
31．（2024秋 泉州期中）因式分解：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
32．（2023秋 沙坪坝区校级期末）把下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
33．（2023秋 秦安县期末）因式分解：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
34．（2024秋 鼓楼区校级期中）因式分解：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
35．（2023秋 丰泽区校级期中）因式分解
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
36．（2023秋 东坡区校级期中）因式分解：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
37．（2023秋 沂源县期中）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】（1）；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
38．（2022秋 射洪市期末）分解因式：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
39．（2022秋 抚顺县期末）分解因式：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
40．（2023秋 北林区校级期末）因式分解：
①；
②；
③．
【解析】①
；
②
；
③
．
41．（2024秋 西城区校级期中）因式分解：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
42．（2024秋 海淀区校级期中）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）．
43．（2023秋 市中区校级期中）把下列多项式因式分解：（必须要写过程）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】①
；
②
；
③
；
④
．
44．（2023秋 齐河县校级期中）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
45．（2023秋 壶关县期中）把下列多项式分解因式．
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
46．（2022秋 平昌县期末）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式
；
（4）原式．
47．（2022秋 大兴区校级期末）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
．
48．（2024秋 如东县期中）分解因式：
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
49．（2024秋 东城区校级期中）因式分解
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）．
50．（2024秋 龙华区校级期中）分解因式：
（1）（2）；
（3）．
（4）（用十字相乘法）．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
51．（2023春 昌黎县期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步），
（第二步），
（第三步），
（第四步），
（1）该同学第二步到第三步运用 完全平方公式 进行因式分解．
（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【解析】（1）由得出运用了两数和的完全平方公式，
故答案为：完全平方公式．
（2）该同学没有完成因式分解，
，
（3）设，
则原式
．
52．（2023秋 伊川县期中）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否符合题意？若不符合题意，请直接写出因式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【解析】（1）该同学因式分解的结果不符合题意；
正确的因式分解结果应为；
（2）设，
原式
．
53．（2023秋 东营期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，设，则原式．
再将代入，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．
请你完成下列各题：
（1）因式分解：；
（2）因式分解：．
【解析】（1）设，
则原式，
，
把代入得，
原式，
；
（2）设，
则原式，
，
，
把代入得，
原式，
，
．
54．（2024春 成安县期末）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
．提取公因式法
．平方差公式法
．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式进行因式分解．
【解析】（1）故选：；
（2），
设，
原式，
，
，
，
；
故答案为：；
（3）设，
原式，
，
，
，
．
55．（2023秋 陇西县校级期末）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原即可．解：设．原式．
问题：
（1）该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果 ；
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【解析】（1）该同学没有完成因式分解，
设，
原式
，
故答案为：；
（2）设，
原式
．
56．（2022秋 方城县期末）学完因式分解后，小亮同学总结出了因式分解的流程图，如图，
下面是小亮同学的因式分解过程：
①
②
③
回答下面的问题：
（1）①完成了流程图的第 步；
（2）②完成了流程图的第 步；
（3）将③的结果写在横线上 ．
【解析】（1）①完成了流程图的第三步；
故答案为：三；
（2）②完成了流程图的第四步；
故答案为：四；
（3）③的结果为．
故答案为：．
57．（2023秋 临潼区期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）因式分解：；
（2）因式分解：．
【解析】（1）
；
（2）
．
58．（2023秋 鼓楼区校级期末）材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：．
（1）分解因式：；
（2）若，都是正整数且满足，求的值；
（3）若，为实数且满足，，求的最小值．
【解析】（1）
；
（2）由题得，即，
，为正整数且，
，即，
；
（2）由题得，
，
，，
，（当且仅当，时取等号），
经验证：，满足，
综上，的最小值为6．
59．（2023秋 东城区期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
（1）用十字相乘法分解因式：；
（2）用十字相乘法分解因式：；
（3）结合本题知识，分解因式：．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
．
60．（2024秋 蓬江区校级期中）阅读材料，解决问题
【材料1】将形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
如，中，常数项，一次项系数，；同理，中，常数项“” ，一次项系数“” ，
．
【材料2】因式分解：
解：把看成一个整体，令，则
原式，再将重新代入，得：原式．
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，因式分解；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：；
②分解因式：．
【解析】（1）；
（2）①把看成一个整体，令，则
原式，
再将重新代入，得：原式；
②
，
把看成一个整体，令，则
原式，
再将重新代入，得：原式．
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