2024-2025学年浙江省G5联盟高二上学期期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省G5联盟高二上学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是
A. B. C. D. 不存在
2.已知直线，：，若，则 ( )
A. B. C. D.
3.曲线 则“”是“曲线表示双曲线”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若，为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则与相交
C. 若，，则 D. 若，，则
5.把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为( )
A. B. C. D.
6.已知均为正实数，，则的最大值为
A. B. C. D.
7.曲线与在内有个交点，则可能的值为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线的焦点到的距离为，是抛物线上的动点，到的距离与之和的最小值为，则点的轨迹围成的面积是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，且，则以下四个命题正确的是( )
A. B. 为纯虚数 C. 为纯虚数 D. 为虚数
10.已知双曲线：的离心率为，焦距为，直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则 ( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D.
11.已知正方体的棱长为，是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是 ( )
A. 若，则
B. 若，则与所成角的取值范围为
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在联盟考试成绩中，从某班随机抽取名同学的数学成绩，分数从低到高为：，，，，，，，，则第百分位数为 ．
13.已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于点、，的周长最大值为，则椭圆离心率的最大值为 ．
14.已知正四面体的棱长为，是棱的中点，是棱上一动点，若在上，使得与平面所成的角为，则线段的长度的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且，
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ已知，，求．
16.本小题分
已知为坐标原点，直线过定点，设圆的半径为，圆心在直线上
Ⅰ若圆心也在直线上，求过点与圆相切的直线方程；
Ⅱ若圆上存在点，使得，求圆心的横坐标的取值范围．
17.本小题分
如图，等腰直角三角形中，，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若，二面角是直二面角，求平面与平面夹角的余弦值；
Ⅲ当时，是否存在这样的点，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知为坐标原点，椭圆：的左焦点为，且经过点，过点的直线与椭圆相交于两点，且在轴的同侧．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ为的重心，直线分别交轴于两点，记和的面积分别为，求的取值范围．
19.本小题分
若存在满足，且，则称为函数的次不动点已知函数为常数且．
Ⅰ当时，判断是否为函数的次不动点，并说明理由；
Ⅱ已知有两个次不动点，
求的取值范围；
若对任意，，且，，求的面积的取值范围．
参考答案
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14.．
15.解：Ⅰ，
即，
即，
由得：，
，
，
，
Ⅱ，
，，
，
由得：或．
16.解：Ⅰ由题可知，
由得圆心，
圆的半径为，
圆的方程为：，
当直线斜率不存在时，此时直线方程为，与圆相切，符合题意
当直线斜率存在时，设所求圆的切线方程为．
，，切线方程为，
综上所述，所求圆的切线方程为或．
Ⅱ圆的圆心在直线上，
所以，设圆心为，
则圆的方程为．
又，
设为，则，设为圆．
所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，
，
，
由，得，
由，得．
综上所述，的取值范围为．
17.Ⅰ证明：，，，即，，
，，平面，平面，
又平面，．
Ⅱ解：因为二面角是直二面角，所以平面平面，平面平面，，平面，平面，
以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：设，
，，，，，．
图
易得平面法向量为，设平面法向量为，
，令，得，，所以，
设平面与平面夹角为，
；
Ⅲ解：分别以、所在直线分别为轴，轴，过作的垂线为轴，如图所示建立空间直角坐标系，
令，则，，，，
，设平面的法向量为，
，
化简得，所以，所以存在这样的点，并且．
图
18.解：，，
又，，，
椭圆的标准方程为：；
设直线的方程：，
设，，，
由得：，
则，，
，，
的重心在轴，，且，
且，
，

19.解：当时，，
因为，但，
所以不是函数的次不动点．
当时，有
所以只有一个解，
又，故不是次不动点．
当时，有，所以有解集，
又当时，，故中的所有点都不是次不动点．
当时，
所以有四个解，，，，
又，，，，
故只有，是的次不动点．
综上所述，所求的取值范围为．
由得当时，
所以，，
函数的在递增递减，递增，递减，
所以函数的最大值点为或，
因为所以，
所以，，，
所以，

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