2024-2025学年度福建省泉州市四校高二年级秋季期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年度福建省泉州市四校高二年级秋季期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过点，，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
3.设，，，，，且，，，则( )
A. B. C. D.
4.设方程表示椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.过点作直线，则满足在两坐标轴上截距之积为的直线的条数为( )
A. B. C. D.
6.已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是( )
A. B.
C. D.
7.如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，，分别为母线、的中点，则异面直线和所成角的大小为( )
A. B. C. D.
8.已知，是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角是
B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C. 直线恒过定点
D. 点在直线上运动，，，则时的最大值是
10.下列说法正确的有( )
A. 已知点在圆上，则的最大值是
B. 已知为坐标原点，点是圆内的一点，则直线与圆相交
C. 若圆上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是
D. 设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则
11.棱长为的正方体中，点满足，其中，，，正确的是( )
A. 当，时，可能是等腰三角形
B. 当，时，三棱锥的体积恒为
C. 当，且时，的面积的最小值为
D. 当，且时，可能为直角
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，点关于轴的对称点的坐标为 ．
13.已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为 ．
14.如图所示，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥与河岸垂直保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处为河岸，当圆形保护区面积最大时， ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正六棱柱中，为的中点设，，．
用，，表示向量，
若，求的值．
16.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且圆过点．
求圆的标准方程；
过点的直线与圆相交于，两点，当时，求直线的方程．
17.本小题分
已知，是椭圆的两个焦点，，为上一点．
求椭圆的标准方程
若为上一点，且，求的面积．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点．
证明：平面
若，，
(ⅰ)求二面角的余弦值
(ⅱ)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是若存在，求出的值若不存在，说明理由．
19.本小题分
类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面含平面的方程，若曲面和三元方程之间满足：曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为已知曲面的方程为已知直线过曲面上一点，以为方向向量，
求证：直线在曲面上即上任意一点均在曲面上
已知曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.【解答】
解： 因为，则点关于轴的对称点的坐标为，
故答案为．

13.【解答】
解：由题意得，圆的半径为，
线段的垂直平分线与直线的交点为，得，
所以，
根据椭圆的定义，点的轨迹是以，为焦点，以为长轴长的椭圆，
所以，，
所以，，
所以，
所以点的轨迹方程是．
故答案为：．
14.【解答】解：如图，设与切于，延长、交于，
，
．
设，则，，
，，
设的半径为，
、到上任一点距离不少于，
则，，
，．
解得：．
当且仅当时取到最大值．
时，保护区面积最大．
故答案是．
15.解：
；
；
由题意易得，，
则
．
16.解：设圆的标准方程为，，
则且且，
解得，，，
圆的标准方程为；
因为，
所以圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题设，
当直线斜率存在时，设为即，
则圆心到直线的距离，解得，
故此时：，
综上，直线方程为或．
17.解：设椭圆的焦距为，因为，可得，所以，
则，，
由椭圆的定义可得，所以，
故椭圆的标准方程为．
解：由，可得，
又由椭圆的定义，可得，
平方得，即，
解得，
所以的面积

18.证明：如图，取中点，连接，，
因为是中点，所以，，
又，，
，，
所以四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面．
解：，，又，，
，则，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，
，又，
所以，，两两互相垂直，
如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
(ⅰ)设平面的一个法向量为，则
，即，令，可得，，
，
又平面的一个法向量为，
，
所以二面角的余弦值为．
(ⅱ)假设线段上存在点，使得点到平面的距离为，
设，，，
，
由(ⅰ)知平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为，
则，解得或，
又，所以，
即存在点到平面的距离为，且．
19.解：证明：设是直线上任意一点，而为直线的方向向量，
则有，
从而存在实数，使得，
即，解得，，，
即点，
显然，
因此点的坐标总是满足曲面的方程，
所以直线在曲面上；
直线在曲面上，且过点，
设是直线上任意一点，直线的方向向量为，
则有，
从而存在实数，使得，即，
则，解得，，，
即点，
由点在曲面上，得，
整理得，
依题意，对任意的实数有恒成立，
因此，且，解得，，或，，
不妨取，则，，或，，
即，或，
又直线的方向向量为，
所以异面直线与所成角的余弦值为：
，．
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