2024-2025学年浙江省”南太湖联盟“高二上学期第一次联考数学学科试题（含答案）

2024-2025学年浙江省”南太湖联盟“高二上学期第一次联考
数学学科试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
2.已知点，，，若，，三点共线，则，的值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.过点作圆 的两条切线，切点分别，为坐标原点，则的外接圆方程为( )
A. B.
C. D.
4.中，，，，则顶点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
5.已知抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，且，，则的渐近线为( )
A. B. C. D.
7.已知点为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，且，为三角形的内心，若成立，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，四面体的体积为，点为棱的靠近的三等分点，点分别为线段的中点，点为线段的中点，过点的平面与棱，，分别交于，，，设四面体的体积为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，下列说法正确的是( )
A. 若，则直线的倾斜角为
B. 若直线 在两坐标轴的截距相等，则
C. 直线与直线垂直，则
D. 若直线不过第二象限，则
10.已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中直线与椭圆交于，两点则下列说法中正确的有( )
A. 当时，的周长为
B. 当时，若的中点为，则
C. 若，则椭圆的离心率的取值范围是
D. 若的最小值为，则椭圆的离心率
11.正方体的棱长为，点为侧面内的一个动点含边界，点、分别是线段、的中点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点，使得二面角大小为
B. 最大值为
C. 直线与面所成角为时，则点的轨迹长度为
D. 当时，则三棱锥的体积为定值．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则 ．
13.设半径为的圆被直线截得的弦的中点为，且弦长，则圆的标准方程为 ．
14.已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且为坐标原点若，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆．
若直线经过点，且与圆相切，求直线的方程；
若圆与圆相切，求实数的值．
16.本小题分
如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点．
证明：平面
当点为棱中点时，求直线与平面所成角的正弦值
17.本小题分
已知曲线经过点．
若经过点，求的离心率
若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．
18.本小题分
已知曲线是平面内到和的距离之和为的点的轨迹．
求曲线的方程；
过点作斜率不为的直线交曲线于两点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点的坐标．
19.本小题分
已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模如图，在正四棱锥中，，且．
求正四棱锥的体积；
若为侧棱上的点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值；
若点是侧棱包含端点上的一个动点，当直线与平面所成角最大时，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，与圆相切，符合题意．
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则，解得，所以直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
圆的方程可化为．
若圆与圆外切，则，解得．
若圆与圆内切，则，解得．
综上，或．

16.取中点，连，．
为中点
，
，
四边形为平行四边形
，面，面
解取中点，连，．
为正三角形，
面面，面面
面
由平面知识易知．
如图以为原点建立空间直角坐标系
则 ， ，
设面的一个法向量为
则
设与平面所成角为
则，
故直线与平面所成角的正弦值为

17.解：因为点在上，
所以，，
因为经过点，所以，即，
代入，得，
所以的标准方程为，
，，，
所以的离心率；
的方程可化为，
因为表示焦点在轴上的椭圆，
所以，
即，
因为点在上，
所以，，
所以，
解得，
所以的取值范围是
18.解：由椭圆定义可知轨迹为椭圆，
设曲线的方程，
则，，，
，，
曲线的方程为；
方法一：直线的斜率存在且不为，
设直线方程为，
联立
整理得，
，
设，
则，，
直线交直线于，
则，
所以直线的方程为：
，，
令，解得，
则，
所以直线的方程为：
，，
令，解得，
则，
，
所以线段中点的坐标为；
方法二：直线的斜率存在且不为，
设直线方程为，
联立
整理得，
，
设，
则，，
直线交直线于，则，
所以直线的方程为：
，，
令，解得，
则，同理可得，
，
所以线段中点的坐标为．

19.解：
设和相交于点，取的中点为，连接，
因为，故的夹角即为的夹角，
故，
所以，所以，
所以正四棱锥的体积．
以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为在上，且平面，
所以平面的一个法向量为，
又因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
因为点是侧棱包含端点上的一个动点，则，
设，由，得，
所以
因为点在上，所以平面的法向量就是平面的法向量，
设平面的一个法向量为，，
因为，且，所以，可以取，
设直线与平面所成角为，
则，
因为，所以当时，取得最大值，
此时直线与平面所成角最大，所以，所以的值等于．

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