2024-2025学年福建省泉州市四校联考高一上学期11月期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年福建省泉州市四校联考高一上学期11月期中考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题无论取何实数，必有，则为( )
A. ，都有 B. ，都有
C. ，使得 D. ，使得
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数则( )
A. B. C. D.
4.已知函数在上单调递增，则的单调减区间为( )
A. B. C. D.
5.已知是奇函数，当，且，又，则( )
A. B. C. D.
6.若，，则，不能满足的条件为( )
A. 为奇数，为偶数 B. 为偶数，为奇数
C. ，均为奇数 D. ，均为偶数
7.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.已知偶函数的定义域为，且当时，为不超过的最大整数则关于的不等式的整数解的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数是同一个函数的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. ，与，
10.已知，，都有下列各式一定成立的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 为奇函数 B.
C. ，使得 D. ，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.根式化为分数指数幂的形式为 ．
13.集合，，则的一个充分不必要条件为 用表示
14.对于，满足恒成立，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，．
当，求
当且，求的范围．
16.本小题分
如图，已知公园中某区域形如直角三角形其中，，设两直角边长分别为，，斜边上的定点到两直角边，的距离分别为，．
求该区域的面积最小值
若从点出发，沿铺设鹅卵石小路，沿铺设石板小路鹅卵石小路和石板小路的单位长度造价分别为，用和表示铺设总造价，并求最小值．
17.本小题分
已知函数．
判断函数在的单调性，并用定义证明
求函数在的值域．
18.本小题分
已知函数具有性质为常数且，则称该函数为“倒装函数”．
请在以下三个函数中找出“倒装函数”，求出对应的的值并说明理由
．
已知函数．
(ⅰ)证明：
(ⅱ)讨论方程的实根的个数．
19.本小题分
有限集中元素均为正整数，设中的元素当，都存在，，使得，则称中的元素是“完全可拆”当，，，则称中的元素是“完全不可拆”．
判断集合，且中的元素是“完全可拆”或“完全不可拆”，并说明理由
若，，且中的元素“完全可拆”，求的最小值
若为奇数，且中的元素“完全不可拆”，求的最大值用表示．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.解：由题意，得，
当时，
故A；
需满足
时，成立
且，即，
故当时，
当时，成立
当时，，
则，即
综上，
16.解：由图可知，，即，则．
由基本不等式，得，得，
当且仅当，时，取等号．
则
故该区域的面积的最小值为．
由题意得，，，，，，
则总造价为，
因为，当且仅当，即取等号．
因为，
则，当且仅当，即取等号．
故，当且仅当，即取等号．
故总造价的最小值为．
17.解：在上单调递减，证明如下：
设任取，且，
，
，，，，
方法一：．
方法二：
因为，则．
方法三：，
因为，，故．
综上，均可得，即，
在上单调递减．
方法一：，设，
，
因为，则，
则，
则，即，故在上递增．
由可知：在上递减，
，，，
故，，
故函数在的值域为．
方法二：，设，
，
因为，，故，
则，即，故在上递增．
由可知：在上递减，
，，，
故，，
故函数在的值域为．
方法三：，
令，则化为，，
因为在递减，在递增，
，．
故，即在的值域为
18.为“倒装函数”，此时．
因为，故符合题意；
证明：因为的定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数为奇函数，
故先研究在的值域，
，
令，当且仅当时，等号成立，
则，
因为在递减，
故，即，
由因为为奇函数，故；
，
令，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，
又在上递减，
由复合函数的单调性知，在上单调递增，在上单调递减，
且，且，
又因为函数为奇函数，
所以当时，方程无实根
当时，方程有唯一实根
当时，方程有两实根．
19.解：集合中，因为，，，，
因此中的元素是“完全可拆”；
集合中，设任意，，则，
故B中的元素是“完全不可拆”；
当时符合，即不唯一；
下证时不符合．
因为，，
则，，，，，
当时，，
若，，
故不存在
若，需存在，
又因为，
故不存在．
故，同理，，，，，．
综上，的最小值为
若，
因为，，，
故A中的元素“完全不可拆”，
此时；
下证的最大值为．
若，则，且，
此时，不符合“完全不可拆”，
故．
综上，的最大值为．
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