2024-2025学年江苏省宿迁市高二上学期11月期中调研考试数学试题(含答案)

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名称 2024-2025学年江苏省宿迁市高二上学期11月期中调研考试数学试题(含答案)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2024-11-27 10:47:44

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文档简介

2024-2025学年江苏省宿迁市高二上学期11月期中调研考试数学试题
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.圆与圆的位置关系为( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
3.已知点与点关于直线对称,则直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.设为实数,若直线与平行,则它们之间的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的两个焦点分别为,,点在该椭圆上,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.椭圆以双曲线的两个焦点为长轴的端点,以双曲线的顶点为焦点,则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
7.过抛物线的焦点的弦,其中点在第一象限,若,则直线 的斜率为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的上顶点为,过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于,两点,则的周长为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.设为实数,直线,点,,则下列说法正确的有( )
A. 直线过定点
B. 若点,到直线的距离相等,则
C. 直线与轴一定相交
D. 若直线不过第二象限,则
10.设为实数,方程表示圆,则下列说法正确的有( )
A.
B. 若,则圆和两坐标轴均相切
C. 若圆关于直线对称,则
D. 无论取任何实数,总存在一条定直线与圆相交
11.在平面直角坐标系中,过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,直线,分别交抛物线准线于,两点,则下列说法正确的有( )
A. 轴 B.
C. 以为直径的圆与抛物线准线恒相交 D. 面积的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.设为实数,直线,,若,则的值为____________.
13.圆上有且只有个点到直线的距离等于,则半径的取值范围为________.
14.如图所示,双曲线具有光学性质:从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射关线的反向延长线经过双曲线的左焦点设,若双曲线的左,右焦点分别为,,从发出的光线经过图中的,两点反射后,分别经过点,,,,则的值为_____________.
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点,直线的方程为,边上的中线所在的直线方程为.
求顶点,的坐标;
求的面积.
16.本小题分
设为实数,圆的方程为.
若圆和圆的公共弦长为,求的值;
若过点的圆与圆相切,切点为,求圆的标准方程.
17.本小题分
已知动点到点的距离比到直线的距离小,过作圆的一条切线,为切点,过作直线的垂线,垂足为.
求点的轨迹方程;
当,,三点共线时,求线段的长;
判断满足的点有几个,并说明理由.
18.本小题分
已知双曲线的右顶点为,实轴长为,过双曲线的左焦点作直线,当直线与轴垂直时,直线与双曲线的两个交点分别为,,此时为等腰直角三角形.
求双曲线的方程;
当直线与双曲线的渐近线平行时,求直线与双曲线的交点坐标;
当直线与双曲线的左支交于,两点时,直线,分别交直线于,两点,在轴上是否存在定点,使得点始终在以线段为直径的圆上?若存在,求出点坐标,否则,请说明理由.
19.本小题分
已知椭圆过点,离心率为,左右焦点分别为,,右顶点为.
求椭圆的方程;
过点的直线与椭圆的另外一个交点为,当的面积最大时,求直线的方程;
若点,是直线上不同的两点,则向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量,当直线时,直线的方向向量称为直线的法向量设,为实数,直线的一个法向量为,为直线上任一点,点为坐标平面内的定点,我们把称为点在直线上的投影数量当与椭圆相切时,点,在直线上的投影数量的乘积是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,说明理由.
参考答案
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15.解:直线和边上中线均过点,
联立方程 解得 即 ,
设 ,代入方程可得 ,
中点 ,
在边的中线上,所以 ,
联立解得 ,
所以点坐标为 ;
由知,坐标分别为,,

点 到直线 的距离 ,
所以 的面积为 .

16.解:由圆 与圆 两方程相减得
两圆的公共弦所在直线方程为: ,
因为两圆的公共弦长为 ,
所以圆 的圆心到直线的距离为 ,
即 ,
所以 或 ;
因为圆 与圆 相切于点 ,
所以点 在圆 上所以 即 ,
所以圆 : 即圆心 ,
所以圆心 与切点所在直线方程为:
切点 与点 两点连线的中垂线所在直线方程为:
联立解得 即圆 的圆心坐标为 ,
所以圆 的半径:
所以圆 的标准方程为:

17.由题意知:点 到点 的距离等于点 到直线 的距离.
所以 即: ,
所以点 的轨迹方程: 由抛物线定义也可得
因为 三点共线,点 , 垂直于直线 ,
所以点 的纵坐标为,
又因为点 在抛物线 上,
所以点 坐标为 .
所以 ,
所以在直角三角形 中, .
满足条件的点 有个.
因为 , ,
所以 ,
所以点 在线段 的中垂线上,
线段 的中垂线方程为: .
联立 消去 得 .
方程 ,即方程有两个不等实数根,
所以满足条件的点 有个.

18.解:由题意得 解得 .
所以双曲线 的方程为: .
因为双曲线 的渐近线方程为: ,
当直线 与 平行时,直线 的方程为: ,
联立 ,解得 .
当直线 与 平行时,直线 的方程为: ,
联立 ,解得
所以直线 与双曲线 的交点坐标为 或 .
当 不垂直 轴时,设 的方程为 ,

直线 的方程为: ,当 时, ,
即点坐标为 ,
直线 的方程为: ,当 时, ,
即 点坐标为 .
所以以 为直径的圆方程为: ,
当 时 .
联立 消去 得 ,
所以 , .

所以 ,
所以 或 .
易知,当直线 垂直 轴时也满足,
所以 轴上存在定点 , 始终在以 为直径的圆上.

19.解:由题意得
解得 .
所以椭圆 的标准方程为:
所以直线 的方程为:
所以与直线 平行的直线方程可设为:
联立 消去 得 ,方程的
当 即 时,直线 与椭圆相切.
因为直线 到直线 的距离小于直线 到直线 的距离
所以 时,该直线与椭圆相切于点 ,此时点 到直线 的距离最大
即 的面积最大
此时点 的坐标为 .
所以直线 的方程为:
由知
取直线 上不同的两个点
则直线 的一个方向向量为
对于直线 则
所以 即向量 与向量 垂直
所以直线 的一个法向量
因为 为 上任一点
所以可以取点 的坐标为
所以 ,
所以
联立 消去 得
因为直线 与椭圆相切
所以方程的 即
所以
所以点 与 在 上的投影数量之积是定值.

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