2024-2025学年江苏省宿迁市高二上学期11月期中调研考试数学试题（含答案）

2024-2025学年江苏省宿迁市高二上学期11月期中调研考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.圆与圆的位置关系为( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
3.已知点与点关于直线对称，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.设为实数，若直线与平行，则它们之间的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的两个焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.椭圆以双曲线的两个焦点为长轴的端点，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
7.过抛物线的焦点的弦，其中点在第一象限，若，则直线 的斜率为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的上顶点为，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，则的周长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设为实数，直线，点，，则下列说法正确的有( )
A. 直线过定点
B. 若点，到直线的距离相等，则
C. 直线与轴一定相交
D. 若直线不过第二象限，则
10.设为实数，方程表示圆，则下列说法正确的有( )
A.
B. 若，则圆和两坐标轴均相切
C. 若圆关于直线对称，则
D. 无论取任何实数，总存在一条定直线与圆相交
11.在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，直线，分别交抛物线准线于，两点，则下列说法正确的有( )
A. 轴 B.
C. 以为直径的圆与抛物线准线恒相交 D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为实数，直线，，若，则的值为____________．
13.圆上有且只有个点到直线的距离等于，则半径的取值范围为________．
14.如图所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射关线的反向延长线经过双曲线的左焦点设，若双曲线的左，右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点，，，，则的值为_____________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，直线的方程为，边上的中线所在的直线方程为．
求顶点，的坐标；
求的面积．
16.本小题分
设为实数，圆的方程为．
若圆和圆的公共弦长为，求的值；
若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程．
17.本小题分
已知动点到点的距离比到直线的距离小，过作圆的一条切线，为切点，过作直线的垂线，垂足为．
求点的轨迹方程；
当，，三点共线时，求线段的长；
判断满足的点有几个，并说明理由．
18.本小题分
已知双曲线的右顶点为，实轴长为，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，，此时为等腰直角三角形．
求双曲线的方程；
当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标；
当直线与双曲线的左支交于，两点时，直线，分别交直线于，两点，在轴上是否存在定点，使得点始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出点坐标，否则，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆过点，离心率为，左右焦点分别为，，右顶点为．
求椭圆的方程；
过点的直线与椭圆的另外一个交点为，当的面积最大时，求直线的方程；
若点，是直线上不同的两点，则向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，当直线时，直线的方向向量称为直线的法向量设，为实数，直线的一个法向量为，为直线上任一点，点为坐标平面内的定点，我们把称为点在直线上的投影数量当与椭圆相切时，点，在直线上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．
参考答案
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15.解：直线和边上中线均过点，
联立方程 解得 即 ，
设 ，代入方程可得 ，
中点 ，
在边的中线上，所以 ，
联立解得 ，
所以点坐标为 ；
由知，坐标分别为，，
，
点 到直线 的距离 ，
所以 的面积为 ．

16.解：由圆 与圆 两方程相减得
两圆的公共弦所在直线方程为： ，
因为两圆的公共弦长为 ，
所以圆 的圆心到直线的距离为 ，
即 ，
所以 或 ；
因为圆 与圆 相切于点 ，
所以点 在圆 上所以 即 ，
所以圆 ： 即圆心 ，
所以圆心 与切点所在直线方程为：
切点 与点 两点连线的中垂线所在直线方程为：
联立解得 即圆 的圆心坐标为 ，
所以圆 的半径：
所以圆 的标准方程为：

17.由题意知：点 到点 的距离等于点 到直线 的距离．
所以 即： ，
所以点 的轨迹方程： 由抛物线定义也可得
因为 三点共线，点 ， 垂直于直线 ，
所以点 的纵坐标为，
又因为点 在抛物线 上，
所以点 坐标为 ．
所以 ，
所以在直角三角形 中， ．
满足条件的点 有个．
因为 ， ，
所以 ，
所以点 在线段 的中垂线上，
线段 的中垂线方程为： ．
联立 消去 得 ．
方程 ，即方程有两个不等实数根，
所以满足条件的点 有个．

18.解：由题意得 解得 ．
所以双曲线 的方程为： ．
因为双曲线 的渐近线方程为： ，
当直线 与 平行时，直线 的方程为： ，
联立 ，解得 ．
当直线 与 平行时，直线 的方程为： ，
联立 ，解得
所以直线 与双曲线 的交点坐标为 或 ．
当 不垂直 轴时，设 的方程为 ，
，
直线 的方程为： ，当 时， ，
即点坐标为 ，
直线 的方程为： ，当 时， ，
即 点坐标为 ．
所以以 为直径的圆方程为： ，
当 时 ．
联立 消去 得 ，
所以 ， ．
，
所以 ，
所以 或 ．
易知，当直线 垂直 轴时也满足，
所以 轴上存在定点 ， 始终在以 为直径的圆上．

19.解：由题意得
解得 ．
所以椭圆 的标准方程为：
所以直线 的方程为：
所以与直线 平行的直线方程可设为：
联立 消去 得 ，方程的
当 即 时，直线 与椭圆相切．
因为直线 到直线 的距离小于直线 到直线 的距离
所以 时，该直线与椭圆相切于点 ，此时点 到直线 的距离最大
即 的面积最大
此时点 的坐标为 ．
所以直线 的方程为：
由知
取直线 上不同的两个点
则直线 的一个方向向量为
对于直线 则
所以 即向量 与向量 垂直
所以直线 的一个法向量
因为 为 上任一点
所以可以取点 的坐标为
所以 ，
所以
联立 消去 得
因为直线 与椭圆相切
所以方程的 即
所以
所以点 与 在 上的投影数量之积是定值．

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