2024-2025学年安徽省蚌埠市A层学校高二上学期第二次联考（11月）数学试题（含答案）

2024-2025学年安徽省蚌埠市A层学校高二上学期第二次联考（11月）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在以为原点，以为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.将直线绕点逆时针旋转得到直线，则的方程是( )
A. B. C. D.
3.已知点，，则以为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
4.空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则( )
A. B.
C. D.
5.设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是( )
A. B. C. D.
6.在中，点，点，点满足，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
7.点，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是( )
A. B. C. D.
8.已知、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B. 已知点，，在平面内，向量是平面的法向量，则
C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
10.在平面直角坐标系中，如果点的坐标满足 ，其中 为参数已知直线与点的轨迹交于，两点，直线与点的轨迹交于，两点，则四边形的面积的值可以是( )
A. B. C. D.
11.已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中，直线经过左焦点与椭圆交于，两点，则下列说法中正确的( )
A. 的周长为
B. 当直线的斜率存在时，记，若的中点为，为坐标原点，则．
C. 若，则椭圆的离心率的取值范围是
D. 若的最小值为，则椭圆的离心率
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为，则 ．
13.如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是 ．
14.椭圆的离心率满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”若是“黄金椭圆”，则 “黄金椭圆”两个焦点分别为、，为椭圆上的异于顶点的任意一点．点是的内心，连接并延长交于，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个顶点分别为，，．
求边所在直线的方程
求边的垂直平分线的方程
求的外接圆的方程．
16.本小题分
如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是正三角形，侧面面，是的中点．
求证：平面平面
求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知斜率为的直线交抛物线：于，两点，且弦中点的纵坐标为．
求抛物线的标准方程；
记点，过点作两条直线，分别交抛物线于，不同于点两点，且的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率为定值．
18.本小题分
如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且．
求证：平面
在线段上是否存在点不含端点，使得平面与平面的夹角为，若存在，指出点的位置若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知点，是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的阿波罗尼斯圆．若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的卡西尼卵形线．已知在平面直角坐标系中，，．
若以为“稳点”的阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；
在的条件下，若点在以为“稳点”的卡西尼卵形线上，求为原点的取值范围；
卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以为“稳点”的阿波罗尼斯圆与卡西尼卵形线都关于同一个点对称．
参考答案
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15.解：由 ，由两点式可得 边所在直线的方程为 ，
即 边所在直线的方程 ；
由 ，可得 的中点为 ，
又 ，所以 边的垂直平分线 的斜率为 ，
所以由点斜式可得 边的垂直平分线 的方程为 ，即 ．
设 的外接圆的方程为 ，
则 ，解得 ，
所以 的外接圆的方程为 ．

16.解：由平面 平面 ，平面 平面 ，
底面是边长为的正方形，则 ， 平面 ，
可知 面 ， 平面 ， ，
为正三角形， 为中点，
可得 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ．
取的中点为，连接 ，侧面是正三角形，
则 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，可知 面 ，
设中点为，连接，
以为坐标原点，以 所在直线为 轴，建立如图空间直角坐标系：
则 ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，则 ，
设与平面 所成角为 ，
则 。

17.解：设，，的中点，则有，，
两式相减得，
，
所以，抛物线方程为．
设直线的方程为：由题意知直线的斜率一定不为，，，
联立方程组，消元得：，由得．
且，．
由题意知，即，
将，代入并化简得，
由韦达定理得，
即，当时该等式恒成立，
所以直线的斜率为．
18.解：以点为原点，以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
，
，故，，
，平面，
平面；
设，则的坐标为，
设平面的法向量为，
则由，令，则，
则法向量，
平面与平面的夹角为，且平面的法向量为，
，
，
解得，
为线段上靠近的三等分点．

19.解：因为以为“稳点”的阿波罗尼斯圆的方程为，
设是该圆上任意一点，则，
所以
，
因为为常数，所以，，且，
所以，，．
解：由知，，设，
由，得，所以，
，整理得，即，所以，
，
由，得，即的取值范围是．
证明：若，则以为“稳点”的阿波罗尼斯圆的方程为，
整理得，
该圆关于点对称．
由点，关于点对称及，
可得卡西尼卵形线关于点对称，
令，解得，与矛盾，
所以不存在实数，，使得以为稳点的阿波罗尼斯圆与卡西尼卵形线都关于同一个点对称．
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