3.6 角（第3课时 余角和补角） 课件（共40张PPT） -七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（华师大版2024）
文档属性
| 名称 | 3.6 角（第3课时 余角和补角） 课件（共40张PPT） -七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（华师大版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-27 18:05:43 | ||
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文档简介
(共40张PPT)
华师大版（2024）七年级数学上册 第三章 图形的初步认识
3.6 角
第三课时 余角和补角
目录/CONTENTS
新知探究
情景导入
学习目标
课堂反馈
分层练习
课堂小结
学习目标
1. 知道两角互余、两角互补的意义，能熟练地求出一个角的余角或补角.
2. 通过探究，知道“同角(或等角)的余角相等”，“同角(或等角)的补角相等”，并会应用.
重点：余角、补角的概念及性质.
难点：余角、补角的性质.
情景导入
在我们所用的一副三角尺中，每块都有一个角是 90°，而其他两个角，一块 是 30°与 60°，另一块都是 45°，它们的和都是 90°.
新知探究
在下图中，用量角器量一量两组图中各角的大小，发现也有这样的特殊关系.
1
2
α
β
20°
70°
40°
50°
∠1＋∠2＝90°
∠α＋∠β＝90°
两个角的和等于90° ( 直角)，就说这两个角互为余角，简称互余.
新知探究
两个角的和等于90° ( 直角)，就说这两个角互为余角，简称互余.
例如，如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.
反过来, 如果两个角互余，那么把这两个角如下图那样拼在一起的话，就构成一个直角.
新知探究
同样，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称互补.
如下图，∠3 + ∠4 = 180°，所以∠3、∠4互为补角.
新知探究
1
2
3
4
想想看，如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，∠2 =∠4，那么∠1和∠3有什么关系？相等角的补角又有什么关系？
∠1＝∠3
同角或等角的余角相等; 同角或等角的补角相等.
课本例题
例3 已知∠α＝50°17′，求∠α的余角和补角.
解：∠α的余角＝90°－50°17′＝39°43′
∠α的补角＝180°－50°17′＝129°43′
课堂练习
1. 说出图中互余和互补的角.
E
A
B
F
D
∠AED和∠DEB、
∠BEF和∠AEF
互补的角：
∠DEF和∠FEB
互余的角：
2．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量？
解：延长AO，测量∠AOB的补角即可.
提示：也可延长BO.
3. 如图，已知∠AOB，利用尺规作图作一个角等于该角补角.
B
O
A
C
∠COB是∠AOB是的补角
习题 3.6
1. 填空:
（1）77°42′+34°45′= ；
（2）108°18′-56°23′= ；
（3）180°- (34°54′+ 21°33′) = .
112°27′
51°55′
123°33′
2. 时钟的分针，1小时转了 度的角，
1 分钟转了 度的角.
6
360
3. 如图，如果∠1=65°15′，∠2=78°30′，则∠3是多少度
解：因为∠1=65°15′，∠2= 78°30′，
所以∠3=180°-∠1-∠2=36°15′.
4. 任意画一个∠AOB，在∠AOB的内部引射线OC、OD，这时图中共有几个角 分别把它们表示出来.
解：如图，这时图中共有6个角.
分别为∠AOC，∠AOD，∠AOB，
∠COD，∠COB，∠DOB.
5. 两个相等的钝角有同一个顶点和一条公共边，并且两个角的另一条边所成的角为90°，画出图形，并求出该钝角的大小.
B
A
C
O
解：如图，∠AOC和∠BOC即为所求.
因为∠AOB=90°，
所以∠AOC=∠BOC= ×(360°-90°)=135°.
6. 如图，OA是表示什么方向的一条射线？仿照这条射线画出表示下列方向的射线：
（1）南偏东60°；
（2）北偏西70°；
（3）西南方向(即南偏西45°).
解：OA表示北偏东40°方向的一条射线.
如图，射线OB、OC、OD即为所求.
东
西
南
北
O
A
40°
C
70°
B
60°
45°
D
7. 72°20′的角的余角等于 ；
25°31′的角的补角等于 .
17°40′
154°29′
8. 在图中，EF、EG分别是∠AEB和∠BEC的平分线，求∠GEF的度数，并写出∠BEF的余角.
解：因为EF、EG分别平分∠AEB和∠BEC，
所以∠BEF= ∠AEB，∠BEG= ∠BEC，
所以∠GEF=∠BEF+∠BEG
= (∠AEB+∠BEC)=90°.
∠BEF的余角是∠BEG，∠CEG.
9. 如图，已知∠A和∠ B，利用尺规作图作∠ C，使∠ C= ∠ A+ ∠ B.
A
B
C
分层练习-基础
知识点1 余角和补角的定义
1. [新趋势·跨学科 2024 扬州期末]冬至是地球赤道以北地区
白昼最短、黑夜最长的一天，在民间有“冬至大如年”的
说法.某地冬至日正午太阳高度角是32°24'，则32°24'的
余角为 .
57°36'
2. 如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的
度数是( C )
A. 50° B. 70°
C. 130° D. 160°
【点拨】
设这个角的度数是 x °.
根据题意，得 x ＝2(180－ x )＋30，
解得 x ＝130，即这个角的度数是130°.
C
3. [2024·广州越秀区月考]将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是( A )
对于A. ∠α＋∠β＝180°－90°＝90°，∠α与∠β互余；对于B. 同角的余角相等，则∠α＝∠β，但∠α与∠β不一定互余；对于C. ∠α＝∠β＝180°－45°＝135°，∠α与∠β不互余；对于D. ∠α＋∠β＝180°，∠α与∠β不互余，故选A.
【点拨】
【答案】A
知识点2 余角和补角的性质
4. 如图，直线 AB ， CD 交于点 O ，因为∠1＋∠3＝180°，
∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2.此判断的依据是
( C )
A. 同角的余角相等 B. 等角的余角相等
C. 同角的补角相等 D. 等角的补角相等
(第4题)
C
5. 如图，点 C ， O ， B 在同一条直线上，∠ AOB ＝90°，
∠1＝∠2，则下列结论：①∠ EOD ＝90°；②∠3＝∠4；③∠2＝∠3；④∠2＋∠3＝90°.其中正确的有
( C )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
(第5题)
【点拨】
因为∠ AOB ＝90°，所以∠2＋∠4＝90°，
又因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠4＝∠ EOD ＝90°，
故①正确；
因为∠ AOC ＝180°－∠ AOB ＝90°，
所以∠1＋∠3＝90°.
所以∠3＝∠4，故②正确；
因为∠ EOD ＝90°，
所以∠2＋∠3＝180°－90°＝90°，∠2与∠3不一不相等，
故③错误，④正确.综上，正确的有3个，故选C.
【答案】C
6. [2023·衢州]如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方
便测出 Cobb 角∠ O 的大小，需将∠ O 转化为与它相等的
角，则图中与∠ O 相等的角是( B )
A. ∠ BEA B. ∠ DEB
C. ∠ ECA D. ∠ ADO
B
7. 如图，∠ AOB ＝120°， OF 平分∠ AOB ，2∠1＝∠2.
(1)∠1与∠2互余吗？试说明理由.
【解】∠1与∠2互余.理由如下：
因为∠ AOB ＝120°， OF 平分∠ AOB ，
所以∠2＝ ∠ AOB ＝60°.
因为2∠1＝∠2，所以∠1＝30°.
所以∠1＋∠2＝90°，即∠1与∠2互余.
(2)∠2与∠ AOB 互补吗？试说明理由.
【解】∠2与∠ AOB 互补.理由如下：
因为∠2＋∠ AOB ＝60°＋120°＝180°，
所以∠2与∠ AOB 互补.
易错点 对余角和补角的定义理解不透彻而致错
8. 下列说法中，正确的有 .(填序号)
①钝角与锐角互补；
②∠α的余角是90°－∠α；
③∠β的补角是180°－∠β；
④若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余.
②③
分层练习-巩固
利用余角、补角的定义找图中互为余角、补角的角
9. 如图，点 A ， O ， B 在同一条直线上，∠ AOD ＝∠ BOD
＝∠ EOC ＝90°，∠ BOC ∶∠ AOE ＝3∶1.
(1)求∠ COD 的度数.
【解】由点 A ， O ， B 在同一条直线
上得∠ AOB ＝180°.
因为∠ EOC ＝90°，
所以∠ AOE ＋∠ BOC ＝180°－90°＝90°.
又因为∠ BOC ∶∠ AOE ＝3∶1，
所以∠ BOC ＝90°× ＝67.5°.
所以∠ COD ＝∠ BOD －∠ BOC
＝90°－67.5°＝22.5°.
(2)图中有哪几对角互为余角？
【解】∠ AOE 与∠ DOE ，
∠ AOE 与∠ BOC ，
∠ DOE 与∠ DOC ，
∠ DOC 与∠ BOC ，这4对角互为余角.
(3)图中有哪几对角互为补角？
【解】∠ AOE 与∠ EOB ，
∠ AOD 与∠ DOB ，∠ AOC 与∠ BOC ，
∠ EOD 与∠ AOC ，∠ DOC 与∠ EOB ，
∠ AOD 与∠ EOC ，∠ BOD 与∠ EOC ，
这7对角互为补角.
分层练习-拓展
利用角的运算探求折叠中角的关系
10. [新考法 折叠法]如图，把一张长方形纸片的一角任意折
向长方形内，使点 B 落在点B'的位置，折痕为 EF ；再沿
GF 折叠，使点 C 落在点C'的位置，点 D 落在D'的位置，
如果C'F与FB'在同一条直线上.
(1)分别写出∠1与∠ CFE 、∠2与∠ BFG 之间所满足的
数量关系.
【解】∠1＋∠ CFE ＝180°，∠2＋∠ BFG ＝180°.
(2)写出∠1与∠2之间的数量关系.
【解】∠1＝90°－∠2.(或∠1＋∠2
＝90°或∠2＝90°－∠1)
(3)∠ EFG 是什么角？
【解】∠ EFG 是直角.
利用角互余、互补关系探究角的关系
11. [新考法 探究比较法]如图①，∠ AOB ＝∠ COD ＝90°.
(1)若∠ BOC ＝2∠ AOC ，求∠ BOC 的大小.
【解】因为∠ AOB ＝90°，
所以∠ BOC ＋∠ AOC ＝90°.
因为∠ BOC ＝2∠ AOC ，所以∠ BOC ＝60°.
(2)试探究∠ BOC 与∠ AOD 之间的数量关系.
【解】因为∠ COD ＝90°，
所以∠ AOD ＝∠ COD ＋∠ AOC ＝90°＋∠ AOC .
因为∠ AOB ＝90°，
所以∠ BOC ＋∠ AOC ＝90°.
所以∠ BOC ＋∠ AOD ＝∠ BOC ＋90°＋∠ AOC ＝
90°＋90°＝180°，
即∠ BOC ＋∠ AOD ＝180°.
(3)若把图①中∠ AOB 绕点 O 旋转到图②的位置，(2)中∠ BOC 与∠ AOD 之间的数量关系还成立吗？试说明理由.
【解】成立.理由：因为∠ AOB ＝∠ COD ＝90°，
所以∠ AOB ＋∠ COD ＝180°.
因为∠ BOC ＋∠ AOD ＋∠ AOB ＋∠ COD ＝360°，
所以∠ BOC ＋∠ AOD ＝180°.
课堂小结
互 余 互 补
数量 关系
对 应 图 形
性 质
∠1＋∠2＝90°
∠3＋∠4＝180°
同角或等角的余角相等
同角或等角的补角相等
华师大版（2024）七年级数学上册 第三章 图形的初步认识
3.6 角
第三课时 余角和补角
目录/CONTENTS
新知探究
情景导入
学习目标
课堂反馈
分层练习
课堂小结
学习目标
1. 知道两角互余、两角互补的意义，能熟练地求出一个角的余角或补角.
2. 通过探究，知道“同角(或等角)的余角相等”，“同角(或等角)的补角相等”，并会应用.
重点：余角、补角的概念及性质.
难点：余角、补角的性质.
情景导入
在我们所用的一副三角尺中，每块都有一个角是 90°，而其他两个角，一块 是 30°与 60°，另一块都是 45°，它们的和都是 90°.
新知探究
在下图中，用量角器量一量两组图中各角的大小，发现也有这样的特殊关系.
1
2
α
β
20°
70°
40°
50°
∠1＋∠2＝90°
∠α＋∠β＝90°
两个角的和等于90° ( 直角)，就说这两个角互为余角，简称互余.
新知探究
两个角的和等于90° ( 直角)，就说这两个角互为余角，简称互余.
例如，如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.
反过来, 如果两个角互余，那么把这两个角如下图那样拼在一起的话，就构成一个直角.
新知探究
同样，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称互补.
如下图，∠3 + ∠4 = 180°，所以∠3、∠4互为补角.
新知探究
1
2
3
4
想想看，如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，∠2 =∠4，那么∠1和∠3有什么关系？相等角的补角又有什么关系？
∠1＝∠3
同角或等角的余角相等; 同角或等角的补角相等.
课本例题
例3 已知∠α＝50°17′，求∠α的余角和补角.
解：∠α的余角＝90°－50°17′＝39°43′
∠α的补角＝180°－50°17′＝129°43′
课堂练习
1. 说出图中互余和互补的角.
E
A
B
F
D
∠AED和∠DEB、
∠BEF和∠AEF
互补的角：
∠DEF和∠FEB
互余的角：
2．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量？
解：延长AO，测量∠AOB的补角即可.
提示：也可延长BO.
3. 如图，已知∠AOB，利用尺规作图作一个角等于该角补角.
B
O
A
C
∠COB是∠AOB是的补角
习题 3.6
1. 填空:
（1）77°42′+34°45′= ；
（2）108°18′-56°23′= ；
（3）180°- (34°54′+ 21°33′) = .
112°27′
51°55′
123°33′
2. 时钟的分针，1小时转了 度的角，
1 分钟转了 度的角.
6
360
3. 如图，如果∠1=65°15′，∠2=78°30′，则∠3是多少度
解：因为∠1=65°15′，∠2= 78°30′，
所以∠3=180°-∠1-∠2=36°15′.
4. 任意画一个∠AOB，在∠AOB的内部引射线OC、OD，这时图中共有几个角 分别把它们表示出来.
解：如图，这时图中共有6个角.
分别为∠AOC，∠AOD，∠AOB，
∠COD，∠COB，∠DOB.
5. 两个相等的钝角有同一个顶点和一条公共边，并且两个角的另一条边所成的角为90°，画出图形，并求出该钝角的大小.
B
A
C
O
解：如图，∠AOC和∠BOC即为所求.
因为∠AOB=90°，
所以∠AOC=∠BOC= ×(360°-90°)=135°.
6. 如图，OA是表示什么方向的一条射线？仿照这条射线画出表示下列方向的射线：
（1）南偏东60°；
（2）北偏西70°；
（3）西南方向(即南偏西45°).
解：OA表示北偏东40°方向的一条射线.
如图，射线OB、OC、OD即为所求.
东
西
南
北
O
A
40°
C
70°
B
60°
45°
D
7. 72°20′的角的余角等于 ；
25°31′的角的补角等于 .
17°40′
154°29′
8. 在图中，EF、EG分别是∠AEB和∠BEC的平分线，求∠GEF的度数，并写出∠BEF的余角.
解：因为EF、EG分别平分∠AEB和∠BEC，
所以∠BEF= ∠AEB，∠BEG= ∠BEC，
所以∠GEF=∠BEF+∠BEG
= (∠AEB+∠BEC)=90°.
∠BEF的余角是∠BEG，∠CEG.
9. 如图，已知∠A和∠ B，利用尺规作图作∠ C，使∠ C= ∠ A+ ∠ B.
A
B
C
分层练习-基础
知识点1 余角和补角的定义
1. [新趋势·跨学科 2024 扬州期末]冬至是地球赤道以北地区
白昼最短、黑夜最长的一天，在民间有“冬至大如年”的
说法.某地冬至日正午太阳高度角是32°24'，则32°24'的
余角为 .
57°36'
2. 如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的
度数是( C )
A. 50° B. 70°
C. 130° D. 160°
【点拨】
设这个角的度数是 x °.
根据题意，得 x ＝2(180－ x )＋30，
解得 x ＝130，即这个角的度数是130°.
C
3. [2024·广州越秀区月考]将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是( A )
对于A. ∠α＋∠β＝180°－90°＝90°，∠α与∠β互余；对于B. 同角的余角相等，则∠α＝∠β，但∠α与∠β不一定互余；对于C. ∠α＝∠β＝180°－45°＝135°，∠α与∠β不互余；对于D. ∠α＋∠β＝180°，∠α与∠β不互余，故选A.
【点拨】
【答案】A
知识点2 余角和补角的性质
4. 如图，直线 AB ， CD 交于点 O ，因为∠1＋∠3＝180°，
∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2.此判断的依据是
( C )
A. 同角的余角相等 B. 等角的余角相等
C. 同角的补角相等 D. 等角的补角相等
(第4题)
C
5. 如图，点 C ， O ， B 在同一条直线上，∠ AOB ＝90°，
∠1＝∠2，则下列结论：①∠ EOD ＝90°；②∠3＝∠4；③∠2＝∠3；④∠2＋∠3＝90°.其中正确的有
( C )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
(第5题)
【点拨】
因为∠ AOB ＝90°，所以∠2＋∠4＝90°，
又因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠4＝∠ EOD ＝90°，
故①正确；
因为∠ AOC ＝180°－∠ AOB ＝90°，
所以∠1＋∠3＝90°.
所以∠3＝∠4，故②正确；
因为∠ EOD ＝90°，
所以∠2＋∠3＝180°－90°＝90°，∠2与∠3不一不相等，
故③错误，④正确.综上，正确的有3个，故选C.
【答案】C
6. [2023·衢州]如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方
便测出 Cobb 角∠ O 的大小，需将∠ O 转化为与它相等的
角，则图中与∠ O 相等的角是( B )
A. ∠ BEA B. ∠ DEB
C. ∠ ECA D. ∠ ADO
B
7. 如图，∠ AOB ＝120°， OF 平分∠ AOB ，2∠1＝∠2.
(1)∠1与∠2互余吗？试说明理由.
【解】∠1与∠2互余.理由如下：
因为∠ AOB ＝120°， OF 平分∠ AOB ，
所以∠2＝ ∠ AOB ＝60°.
因为2∠1＝∠2，所以∠1＝30°.
所以∠1＋∠2＝90°，即∠1与∠2互余.
(2)∠2与∠ AOB 互补吗？试说明理由.
【解】∠2与∠ AOB 互补.理由如下：
因为∠2＋∠ AOB ＝60°＋120°＝180°，
所以∠2与∠ AOB 互补.
易错点 对余角和补角的定义理解不透彻而致错
8. 下列说法中，正确的有 .(填序号)
①钝角与锐角互补；
②∠α的余角是90°－∠α；
③∠β的补角是180°－∠β；
④若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余.
②③
分层练习-巩固
利用余角、补角的定义找图中互为余角、补角的角
9. 如图，点 A ， O ， B 在同一条直线上，∠ AOD ＝∠ BOD
＝∠ EOC ＝90°，∠ BOC ∶∠ AOE ＝3∶1.
(1)求∠ COD 的度数.
【解】由点 A ， O ， B 在同一条直线
上得∠ AOB ＝180°.
因为∠ EOC ＝90°，
所以∠ AOE ＋∠ BOC ＝180°－90°＝90°.
又因为∠ BOC ∶∠ AOE ＝3∶1，
所以∠ BOC ＝90°× ＝67.5°.
所以∠ COD ＝∠ BOD －∠ BOC
＝90°－67.5°＝22.5°.
(2)图中有哪几对角互为余角？
【解】∠ AOE 与∠ DOE ，
∠ AOE 与∠ BOC ，
∠ DOE 与∠ DOC ，
∠ DOC 与∠ BOC ，这4对角互为余角.
(3)图中有哪几对角互为补角？
【解】∠ AOE 与∠ EOB ，
∠ AOD 与∠ DOB ，∠ AOC 与∠ BOC ，
∠ EOD 与∠ AOC ，∠ DOC 与∠ EOB ，
∠ AOD 与∠ EOC ，∠ BOD 与∠ EOC ，
这7对角互为补角.
分层练习-拓展
利用角的运算探求折叠中角的关系
10. [新考法 折叠法]如图，把一张长方形纸片的一角任意折
向长方形内，使点 B 落在点B'的位置，折痕为 EF ；再沿
GF 折叠，使点 C 落在点C'的位置，点 D 落在D'的位置，
如果C'F与FB'在同一条直线上.
(1)分别写出∠1与∠ CFE 、∠2与∠ BFG 之间所满足的
数量关系.
【解】∠1＋∠ CFE ＝180°，∠2＋∠ BFG ＝180°.
(2)写出∠1与∠2之间的数量关系.
【解】∠1＝90°－∠2.(或∠1＋∠2
＝90°或∠2＝90°－∠1)
(3)∠ EFG 是什么角？
【解】∠ EFG 是直角.
利用角互余、互补关系探究角的关系
11. [新考法 探究比较法]如图①，∠ AOB ＝∠ COD ＝90°.
(1)若∠ BOC ＝2∠ AOC ，求∠ BOC 的大小.
【解】因为∠ AOB ＝90°，
所以∠ BOC ＋∠ AOC ＝90°.
因为∠ BOC ＝2∠ AOC ，所以∠ BOC ＝60°.
(2)试探究∠ BOC 与∠ AOD 之间的数量关系.
【解】因为∠ COD ＝90°，
所以∠ AOD ＝∠ COD ＋∠ AOC ＝90°＋∠ AOC .
因为∠ AOB ＝90°，
所以∠ BOC ＋∠ AOC ＝90°.
所以∠ BOC ＋∠ AOD ＝∠ BOC ＋90°＋∠ AOC ＝
90°＋90°＝180°，
即∠ BOC ＋∠ AOD ＝180°.
(3)若把图①中∠ AOB 绕点 O 旋转到图②的位置，(2)中∠ BOC 与∠ AOD 之间的数量关系还成立吗？试说明理由.
【解】成立.理由：因为∠ AOB ＝∠ COD ＝90°，
所以∠ AOB ＋∠ COD ＝180°.
因为∠ BOC ＋∠ AOD ＋∠ AOB ＋∠ COD ＝360°，
所以∠ BOC ＋∠ AOD ＝180°.
课堂小结
互 余 互 补
数量 关系
对 应 图 形
性 质
∠1＋∠2＝90°
∠3＋∠4＝180°
同角或等角的余角相等
同角或等角的补角相等
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