6.3 线段的比较与运算 课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
第6章 基本的几何图形
6.3 线段的比较与运算
学习目标
1. 理解比较线段长短的方法，并会进行符号化表达；
2. 会用直尺和圆规画一条线段等于已知线段；
3. 理解线段的和、差，以及线段中点的定义，能根据中点的定义进行简单推理，会计算线段的和与差。
知识回顾
在小学阶段，我们学习了线段的测量，如何进行线段的比较与运算呢
观察与发现
(1) 如图，如何比较两棵树的高矮 如何比较两支铅笔的长短
叠合法
观察与发现
(2) 如何比较两条线段的长短呢
A
B
C
D
度量法
观察与发现
除测量外，还可以借助圆规把其中的一条线段移到另一条线段上来比较。
(2) 如何比较两条线段的长短呢
观察与发现
(2) 如何比较两条线段的长短呢
A
B
C
D
A
B
如图，点A 和点C 重合，点B 落在C、D 之间，这时就说线段AB小于线段CD，记作AB＜CD。
叠合法
观察与发现
你能说出什么情况下AB＝CD，AB＞CD 吗
A
B
C
D
AB＝CD
A
B
C
D
AB＞CD
新知巩固
观察并比较图中线段AB和CD的长短。比较的结果与你观察到的一致吗
A
D
B
C
思考与交流
如图，已知线段a、b(a＞b)，射线AE。用圆规在射线AE上截取线段AB＝a，再截取线段BC＝b。此时，点C 在A、B之间还是在A、B 之外
a
b
A
E
B
C
在数学中，只使用无刻度的直尺和圆规作图的方式称为尺规作图
C
思考与交流
A
E
B
C
如图，在射线AE上顺次截取AB＝a，BC＝b。此时点C在A、B之外。
思考与交流
A
E
B
C
如图，先在射线AE上截取AB＝a，再在线段 AB上截取BC＝b。
此时点C在A、B 之间。
概括与表达
如图1，线段AC 是a与b的和，记作AC＝a＋b；
如图2，线段AC 是a与b的差，记作AC＝a－b。
图1
图2
新知巩固
1. 如图，点B、C是线段AD上的两点。
(1) AD＝AC＋( )；
(2) AC＝AD－( )；
(3) BC＋CD＝( )－AB。
A
D
B
C
CD
CD
AD
新知巩固
2. 如图，点B、C在线段AD上。
(1) 如果AB＝CD，那么AC＝BD吗 为什么
(2) 如果AC＝BD，那么AB＝CD吗 为什么
A
D
B
C
解：(1) 因为AB＝CD，
所以AB＋BC＝CD＋BC，
所以AC＝BD。
(2) 因为AC＝BD，
所以AC－BC＝BD－BC，
所以AB＝CD。
新知巩固
3. 已知线段a，用直尺和圆规作一条线段，使它等于2a。
A
P
B
M
a
① 作射线AP；
② 用圆规量出已知线段a的长度；
③ 在射线AP上依次截取AM＝MB＝a。
线段AB就是所要求作的线段。
解：
a
a
概括与表达
如图,点M在线段AB上,AM＝BM,线段AB, BM与AM之间有什么数量关系
AM＝BM＝ AB，或AB＝2AM＝2BM。
如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，那么点M叫作线段AB的中点(midpoint)。
A
B
M
因为点M是线段AB的中点，
所以
反之也成立。
概括与表达
类似地，如图①，M、N 是线段AB的三等分点，则AM＝MN＝NB＝AB；
类似地，如图②，M、N 、P是线段AB的四等分点，则AM＝MN＝NP＝PB＝AB。
A
D
M
N
A
B
M
N
P
例题讲解
例1 如图，点C是线段AB上靠近点A的三等分点，点D是线段AB的中点。若AB＝9，求线段CD的长度。
解：∵AB＝9，点C是线段AB上靠近点A的三等分点，
∴AC＝AB＝×9＝3。
∵点D是线段AB的中点，
∴AD＝AB＝×9＝4.5。
∴CD＝AD－AC＝4.5－3＝1.5。
∴线段CD的长度为1.5。
A
B
C
D
新知巩固
1. 如图，点C 在线段AB 上，D 为线段BC 的中点。若AC＝6，AD＝8，求线段 AB 的长度。
A
B
C
D
∵D为线段BC的中点，
∴DB＝CD＝2。
∴CD＝AD－AC＝8－6＝2。
解：∵AC＝6，AD＝8，
∴AB＝AD＋DB＝8＋2＝10。
新知巩固
2. 如图，M 是线段AB 的中点，点P 在线段BM 上，N 是BP 的中点。若AB＝20cm，BN＝4cm，求线段MP的长度。
A
B
P
N
M
解：∵M 是线段AB 的中点，N 是BP 的中点，
∴ BM＝×20＝10cm，
BP＝2BN＝2×4＝8cm，
∴ MP＝BM－BP＝10－8＝2cm。
例2 画直线l，并在l上依次取点A、B、C，分别取线段AB、BC的中点D、E，
①使AB＝4cm，BC＝2cm，求线段DE的长。
A
B
C
l
D
E
解：①∵点D、E是AB、BC的中点，
∴ DB＝，
BE＝，
∴ DE＝DB＋BE＝2＋1＝3cm。
拓展与延伸
例2 画直线l，并在l上依次取点A、B、C，分别取线段AB、BC的中点D、E，
②使AB＝a cm，BC＝b cm，求线段DE的长。
A
B
C
l
D
E
解：②∵点D、E是AB、BC的中点，
∴ DB＝cm，
BE＝bcm，
∴DE＝D。
＝AC
定值　　　
中点模型DE＝
拓展与延伸
1.会比较线段的长短。
2.会用尺规作图画一条线段等于已知线段。
3.根据中点的定义进行简单推理，会计算线段的和与差。
1. 如图，用圆规比较两条线段A'B'和AB的长短，A'B'和AB的大小关系是（ 　）
A. A'B'＜AB B. A'B'＝AB
C. A'B'＞AB D. 无法确定
课堂检测
基础过关
C
课堂检测
基础过关
2. 下列说法正确的是（　D）
D
A. 若AP＝ AB，则P是AB的中点
B. 若AB＝2PB，则P是AB的中点
C. 若AP＝PB，则P是AB的中点
D. 若AP＝PB＝ AB，则P是AB的中点
课堂检测
基础过关
3.如图，在线段AB上，有C、D，请完成以下填空：
C
D
A
B
AB＝AC________ ＝ AD____ ＝ AC____
CB
DB
DB
CD
AC＝AD－____ ＝ AB－____＝AB－____－____
CD
DB
CB
CD
CD＝AD－____ ＝BC－____＝ AB－____－____
DB
AC
DB
AC
课堂检测
基础过关
4. 如图，点C、D把线段AB三等分，AC＝6 ，则：
（3）在上述条件下，若点P是线段AB的中点，则AP ＝__，CP ＝___。
（1）BD＝____，AB＝____；
（2）点C是线段____的中点，　
线段BC的中点是点___。　
6
18
AD
D
9
3
B
A
D
C
6
P
课堂检测
基础过关
5. 如图，C是线段AB的中点，点D在线段AC上，若AB＝6，CD＝2，则BD的长是 。
5　
6.已知线段AB=100 cm，点C是直线AB上一点，BC=40 cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是___________。
50 cm
课堂检测
基础过关
7.如图，已知线段a、b (a＞b)，用直尺和圆规作一条线段，使它等于2b－a。
a
b
解：
A
E
b
B
b
C
a
如图，线段AC即为所求。
课堂检测
基础过关
8.如图，A，B，C，D四点在同一直线上。
（1）若AB＝CD。
①比较线段的大小：AC BD；（填“＞”“＝”或“＜”）
②若BC＝ AC，且AC＝16 cm，则AD的长为 cm；
＝　
20　
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能力提升
（2）若线段AD被点B，C分成了2∶3∶4的三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18 cm，求线段AD的长。
解：（2）如图：
设AM＝BM＝x cm。
根据已知得，AB＝2x cm，BC＝3x cm，CD＝4x cm，
所以AD＝9x cm，CN＝DN＝ CD＝2x cm。
因为MN＝18 cm，
所以BM＋BC＋CN＝18 cm，即x＋3x＋2x＝18。
解得x＝3.所以AD＝9×3＝27（cm）。
答：线段AD的长是27 cm。
课堂检测
能力提升
1. 如图，下列说法，不能判断点C是线段AB的中点的是（ ）
A. AC＝CB B. AB＝2AC
C. AC ＋CB＝AB D. CB＝AB
C
课堂检测
基础过关
2. 已知线段AB，延长AB到C，使BC＝AB，D为AC的中点，若AB＝9cm，则DC的长为　　　 。
6 cm
3. 已知A、B、C三点在一直线上，线段AC＝1，BC＝3，则线段AB的长度是　　　 。
2或4
课堂检测
能力提升
4.已知A，B，C三点在同一直线上，线段AB＝50，线段BC＝10，M是线段AB的中点，求线段MC的长。
解：如图1，当点C在线段AB的延长线上时，
因为AB＝50，BC＝10，点M是线段AB的中点，
所以BM＝ AB＝ ×50＝25，
所以MC＝BM＋BC＝25＋10＝35；
如图2，当点C在线段AB上时，
因为AB＝50，BC＝10，点M是线段AB的中点，
所以BM＝ AB＝ ×50＝25，
所以MC＝BM－BC＝25－10＝15。
综上所述，线段MC的长为35或15。
课堂检测
能力提升
5. 如图，已知线段AB和长度分别为a，b的两条线段，且a＝6。
（1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
①延长线段AB到点C，使BC＝a；
②反向延长线段AB到点D，使AD＝b。
解：（1）①如图，线段BC为所求作；
②如图，线段AD为所求作。
课堂检测
能力提升
（2）在（1）的条件下，若AB＝8，b＝10，且E为CD的中点，求线段AE的长。
解：（2）因为AB＝8，BC＝a＝6，AD＝b＝10，
所以CD＝AD＋AB＋BC＝10＋8＋6＝24。
因为E为CD的中点，所以DE＝ CD＝12，
所以AE＝DE－AD＝12－10＝2。
课堂检测
能力提升
6.如图,线段AB＝24,动点P从A出发,以每秒2个单位的速度沿射线AB运动,M为AP的中点。
(1)出发多少秒后，PB＝2AM？
解：设点P的运动时间为x秒，
所以PA＝2x，AM＝x。
(1)当点P在点B左边时，PB＝24－2x，
由题意得24－2x＝2x，解得x＝6；
当点P在点B右边时，PB＝2x－24，
由题意得2x－24＝2x，方程无解。
综上可得，出发6秒后，PB＝2AM。
课堂检测
能力提升
(2)当点P在线段AB上运动时，试说明2BM－PB为定值。
(2)当点P在线段AB上运动时，
AM＝x，BM＝24－x，PB＝24－2x，
所以2BM－PB＝2(24－x)－(24－2x)＝24。
所以当点P在线段AB上运动时，2BM－PB为定值。
课堂检测
能力提升
(3)当P在线段AB的延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：
①MN长度不变；②MA＋PN的值不变，其中哪个结论正确？请说明理由。
(3)结论①正确，结论②不正确。
理由：因为P在线段AB的延长线上运动，
所以PB＝2x－24，
所以PN＝PB＝x－12，
又因为PM＝x，
所以MN＝PM－PN＝x－ (x－12)＝12，
所以MN的长度为定值12，故①正确。
MA＋PN＝x＋x－12＝2x－12，
故MA＋PN的值随x的变化而变化，故②不正确。