24.1 旋转（第3课时在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换）课件(共51张PPT)

(共51张PPT)
九年级沪科版数学下册 第二十四章 圆
第3课时在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换
24.1 旋转
目录/CONTENTS
新知探究
情景导入
学习目标
课堂反馈
分层练习
课堂小结
1. 理解并掌握旋转变化的特点，能够解决坐标平面内的旋转变换问题.(重点、难点)
2. 能够运用旋转、轴对称或平移进行简单的图案设计.(难点)
学习目标
旋转的定义：
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，得到另一个图形的变换，这样的图形变换称为旋转。
中心对称的定义：
在平面内，将一个图形绕着某一定点旋转180度，得到另一个图形，那么，我们就说这两个图形关于这个点成中心对称。
情景导入
旋转的性质：
1. 旋转不改变图形的大小和形状．
2. 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角．
3. 对应点到旋转中心的距离相等.
4. 旋转中心是唯一不动的点.
情景导入
中心对称的性质：
关于中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分，具有旋转的所有性质.
旋转对称图形：
在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后，能够与原图_______，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点就是_________.
重合
旋转中心
情景导入
中心对称图形定义：
如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这个点叫做它的对称中心.
情景导入
A
B
1
2
2
－1
－2
－2
x
y
O
1
－1
C
如图，△ABC 的顶点坐标分别是 A (2，1)，B (0，0).
(1) 分别画出△ABC 以原点为旋转中心，逆时针旋转90°、180°、270°、360°而得到的△A′B′C′，（按逆时针方向旋转）
新知探究
（2）给出点A′，B′，C′的坐标（填在下表中）：
A
B
1
2
2
－1
－2
－2
x
y
O
1
－1
C
原图形上点的坐标 A (2，1) B (0，0) C(2，0)
按逆时针方向旋转后对应点的坐标 旋转90°
旋转180°
旋转270°
旋转360°
(－1，2)
(－2，－1)
(1，－2)
(2，1)
(0，0)
(0，2)
(0，0)
(0，0)
(0，0)
(－2，0)
(0，－2)
(2，0)
(3) 分别比较点 A′ 与点 A、点 B′ 与点 B、点 C 与点 C′的坐标，能得到怎样的结论？
通过作图、分析能看到，把一个图形以坐标原点为旋转中心作几个特殊角度的旋转，可得如下结果：
原图形上任一点的坐标 以点O为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点坐标
(x，y) (－y，x) (－x，－y) (y，－x) (x，y)
旋转90°
旋转180°
旋转270°
旋转360°
这里，把（x,y）变换成（x,y）的变换叫做恒等变换，即在平面直角坐标系中，一个图形绕点O作360°旋转是一个恒等变换.
x
y
O
1
2
-2
-1
1
2
-2
-1
A
B
C
A′
C′
B′
例1 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是(1，0)，若点 A 的坐标为(a，b)，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标是 ．
(b＋1，－a＋1)
典例剖析
解析：过点 A 作 AC⊥x 轴，过点 A′ 作 A′D ⊥ x 轴，垂足分别为 C、D，显然
Rt △ABC ≌ Rt △BA′D. ∵点 A 的坐标为 (a，b)，点 B 的坐标是 (1，0)，∴OD＝OB＋BD＝OB＋AC＝1＋b，A′D＝BC＝OC－OB＝a－1. ∵点 A′ 在第四象限，∴点A′的坐标是(b＋1，－a＋1)．故答案为(b＋1，－a＋1)．
试说出构成下列图形的基本图形．
（1）
（2）
（3）
（4）
新知探究
基本图案
图案的形成过程
分析图案的形成过程
基本图案
图案的形成过程
分析图案的形成过程
归纳：图形的变换可以通过选择不同的变换方式得到，可能需要旋转、轴对称、平移等多种变换组合才能得到完美的图案.
例2 用四块如图(1)所示的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)．
解：如图所示.（答案不唯一）
典例剖析
例3 如图，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、轴对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4.
分析：所给左上角的三角形的面积为 1×1÷2＝0.5，故设计图案总共需要三角形 4÷0.5＝8 (个).
典例剖析
解：答案不唯一，以下图案供参考.
A
分层练习-基础
2. 如图，点A的坐标是(－4，6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是(　　)
A．(4，6) B．(6，4)
C．(－6，－4) D．(－4，－6)
B
D
4．[2024·德州德城区期末]如图，在正方形网格中，线段AB绕一点旋转一定的角度后与线段CD重合(C，D均为格点，点A的对应点是点C)，若点A的坐标为(－1，5)，点B的坐标为(3，3)，则旋转中心的坐标为________．
(1，1)
【点拨】如图，建立平面直角坐标系，连接AC，BD，作AC，BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心，E(1，1).
5．[2024·盐城一模]如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，点B(0，4)，连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，求线段OC的长度．
【解】如图，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC＝∠BOA＝90°.
∵将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，
∴∠BAC＝90°，AC＝AB.∴∠BAO＋∠CAD＝90°.
6. 如图，直线y＝2x＋2与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ACD，则点D的坐标为________．
(－3，1)
分层练习-巩固
【点拨】当x＝0时，y＝2×0＋2＝2，∴点B的坐标为(0，2).∴OB＝2.
当y＝0时，2x＋2＝0，解得x＝－1，∴点A的坐标为(－1，0).∴OA＝1.
根据旋转的性质，可得CD＝OB＝2，AC＝AO＝1，AC⊥x轴，CD∥x轴，
∴点D的坐标为(－1－2，1)，即(－3，1).
(3，2)
【点拨】如图，连接OA，OA′，过点A作AE⊥x轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，由旋转的性质可知OA＝OA′，∠AOA′＝90°，∴∠A′OF＋∠AOE＝90°.
∵AE⊥x轴，A′F⊥x轴，∴∠AEO＝∠OFA′＝90°.
∴∠OAE＋∠AOE＝90°.∴∠OAE＝∠A′OF.
9．[2024·淮南田家庵区期中]如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点上．
(1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
【解】如图，△A1B1C1即为所求.
(2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并写出点B2，C2的坐标；
【解】如图，△AB2C2即为所求， B2(1，4)，C2(－1，5).
(3)若点P为x轴上一点，则PA＋PC的最小值为________．
10．在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动为线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角称为“旋似角”，新线段长和原线段长的比值称为“旋似比”．如图，在平面直
角坐标系xOy中有一点A(－2，6)，
把线段OA绕点O做“旋似”运动，
点A的对应点是点B，若“旋似角”为90°：
分层练习-拓展
(1)当“旋似比”为2时，求点B的坐标；
【解】如图，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，
∴∠ADO＝∠BCO＝90°.
(2)过点B作BD⊥x轴，点D为垂足，连接AB，若AB∥x轴，求此时的“旋似比”；
【解】如图，设AB与y轴交于点C.
∵A(－2，6)，∴AC＝2，OC＝6.
∵∠AOB＝90°，∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD.
1．给下列图形分类：
（1）只属轴对称；
（2）只属旋转对称；
（3）既属轴对称又属旋转对称；
（4）不属任何对称.
习题24.1
解：（1）只属轴对称：②③⑩．
（2）只属旋转对称：①④⑦．
（3）既属轴对称又属旋转对称：⑤⑨．
（4）不属任何对称：⑥⑧．
2．画出上题中轴对称图形的对称轴，用“”号标出上题中旋转对称图形的旋转中心.
解：图形如图所示．∵AB与A′B′关于点O成中心对称，∴AB=A′B′，AB∥A′B′．
同理得A′B′=A″B″，A′B′∥A″B″．
∴A″B″=AB，A″B″∥AB．
由此得两次中心对称，相当于一次平移.
3．画出已知线段AB关于点O（不在AB上）成中心对称的线段A'B'，再画出A'B'关于另一点O'（不与O重合，也不在A'B'上）成中心对称的线段A″B″，并且证明A″B″ AB．由此你能得出怎样的猜想？
4．在方格纸上，格点△ABC的位置如图（1），请在图（2）~（5）中各画出一个与格点△ABC全等但位置不同的格点三角形．
解：如图，三角形即为所求．
5．如图，在平面直角坐标系中有点A（a，b），作出点A关于x轴对称的对应点A1，点A1关于y轴对称的对应点A2．连接OA1和OA2，观察点A1，A2与点O有什么关系？
解：如图所示．点A1，A2与点O的关系是点A1与点A2关于点O成旋转对称．
解：如图.点A，B，C关于原点成中心对称的对应点分别为A′（1，-2），B′（3，-1），C′（2，1）．点A关于点B成中心对称的对应点为A″（-5，0）．
6．在平面直角坐标系中画出点A（-1，2），B（-3，1），C（-2，-1），并画出这三点关于原点成中心对称的对应点，写出它们的坐标．然后画出点A关于点B成中心对称的对应点并写出其坐标．
7．如图，已知 ABCD的中心在原点O，顶点A（3，2），D（2，-2），求顶点B，C的坐标．
解：∵ ABCD的中心在原点O，
∴点A与C，点B与D分别关于原点对称．
∵A（3，2），D（2，-2），
∴C（-3，-2），B（-2，2）．
8．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（5，0），C（5，3），将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°，得△A1B1C1，求顶点A1，B1，C1的坐标．
解：如图所示，△A1B1C1即为所求．顶点A1，B1，C1的坐标分别为（-3，1），（0，5），（-3，5）．
9．△ABC在方格纸中的位置如图．
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使得
A，B两点的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-4），并求出C点的坐标；
解：坐标系如图所示，C（3，-3）．
x
y
O
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，再作出△ABC以原点为旋转中心、按逆时针方向旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出C1，C2两点的坐标；
解：△A1B1C1，△A2B2C2如图所示．其中C1，C2两点的坐标分别为C1（3，3），C2（-3，3）．
（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，其中的一个三角形能否由另一个三角形经过某种变换而得到？若能，请指出什么变换．
解：其中的一个三角形能由另一个三角形经过某种变换而得到．是对称变换而得到．
10．在平面直角坐标系中，将抛物线y=4x2绕原点、按逆时针方向旋转180°，求这时抛物线对应的函数表达式．
解：这时抛物线对应的函数表达式为y=-4x2．
旋转的应用
特征
P (x，y)关于原点的对称点为P′(-x，-y).
作图
作出关于原点对称的图形，先求出对称点的坐标，再描点画图.
坐标平面内的旋转
变换
动态图形的操作与图案设计
分析图案设计
分清基本图形
知道形成过程
设计方法
利用图形变换
轴对称
平 移
旋 转
课堂小结