第24章 圆复盘提升 单元复习课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
第24章
圆
九年级数学上册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
九年级 上册
单元复盘提升
思维导图
知识串讲
·
一、与圆有关的概念
1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2.弦:连接圆上任意两点的线段.
3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.
4.劣弧:小于半圆的圆弧.
5.优弧:大于半圆的圆弧.
6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.
7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交.
8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交.
·
知识串讲
9. 圆内接正多边形、外接圆：将一个圆 n (n≥3) 等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫做这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.
10. 三角形的外接圆
外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
11. 三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
知识串讲
12. 正多边形的相关概念
(1) 中心：正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心，
称其为正多边形的中心.
(2) 半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.
(3) 边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形
的边心距.
(4) 中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角
都相等，叫做正多边形的中心角.
E
F
C
D
O
中心角
半径R
边心距r
.
A
B
知识串讲
二、 圆的基本性质
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条_____所在的直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心即为对称中心.
直径
2. 有关圆心角、弧、弦的性质
(1) 在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等；
(2) 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
圆心角相等
弧相等
弦相等
关系
知识串讲
三、与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 比较得到.
设☉O 的半径是 r，点 P 到圆心的距离为 d ，则有
点 P 在圆内；
d＜r
点 P 在圆上；
d = r
点 P 在圆外.
d＞r
知识串讲
2. 直线与圆的位置关系
设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离
图形
公共点个数
直线与圆的 位置关系
公共点名称
直线名称
2 个
交点
割线
1 个
切点
切线
0 个
相离
相切
相交
知识串讲
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
四、有关定理
1. 垂径定理及其推论
(1) 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的　 .
两条弧
2. 圆周角定理及其推论
(1) 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
(3) 推论2：90° 的圆周角所对的弦是直径.
(4) 推论3：圆的内接四边形的对角互补.
(2) 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等.
知识串讲
3. 与切线相关的定理
(1) 判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2) 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3) 切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角
知识串讲
3.切线的判定与性质
1）切线的判定一般有三种方法：
a.定义法：和圆有唯一的一个公共点
b.距离法： d=r
c.判定定理：过半径的外端且垂直于半径
2）切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半径.
知识串讲
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
切线长：
从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长.
3）切线长及切线长定理
B
P
O
A
知识串讲
五、圆中的计算问题
1. 弧长公式
半径为 R 的圆中，n° 圆心角所对的弧长 l =_____.
2. 扇形面积公式
半径为 R，圆心角为 n° 的扇形面积 S = ___________.
或
3. 弓形面积公式
O
弓形的面积 = 扇形的面积±三角形的面积
O
知识串讲
(3) 圆锥的侧面积为　 ；
(4) 圆锥的全面积为　 　.
4. 圆锥的侧面积
(1) 圆锥的侧面展开图是一个　 　；
(2) 如果圆锥的母线长为 l，底面圆半径为 r，那么这个扇形的半径为　　，扇形的弧长为　 ；
扇形
l
知识串讲
5. 圆内接正多边形的计算
(1) 正 n 边形的中心角为
(2) 正 n 边形的边长 a，半径 R，边心距 r 之间的关系为
(3) 边长为 a，边心距 r 的正 n 边形的面积为
其中 C 为正 n 边形的周长.
知识串讲
六、三角形的内切圆及内心
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
┐
A
C
I
┐
┐
D
E
F
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
重要结论
只适合于直角三角形
考点梳理
考点一：圆的有关概念及性质
例1
在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则∠BAD的度数是（ ）
A. 72° B.54° C. 45° D.36 °
A
B
C
D
B
解：∵∠D=36°,
∴∠B=36°,
∵AD⊥BC,
∴∠BAD=90°-36°=54°
考点梳理
例2
如图, 在☉O 中, AB 是直径, AC 是弦,连接OC, 若∠ACO ＝30°, 则∠BOC 的度数是（ ）
A. 30° B. 45°
C. 55° D. 60°
D
解：OA=OC,∠ACO ＝30°,
∴∠A=30°,
∴∠BOC=2∠A=60°
考点梳理
例3
如图，AB 是 ⊙O 的直径，且 AB = 2，C，D 是同一半圆上的两点，并且 与 的度数分别是 96° 和 36°，动点 P 是 AB 上的任意一点，则 PC + PD 的最小值是 .
A
B
C
D
P
O
D′
P
解析：作 D 点关于 AB 的对称点 D′，
连接 CD′，与 AB 交于点 P，
此时 PC + PD 的最小值
即为 CD′ 的长度.
先求出∠COD′ 的度数，再求 CD′.
刻意练习
练1
如图所示，在圆O中弦AB∥CD，若∠ABC=50°，
则∠BOD等于（　　）
A．50° B．40° C．100° D．80°
C
练2
如图, M 是 CD 的中点, EM ⊥ CD ．若 CD ＝ 4,
EM ＝ 8, 则 所在圆的半径为________.
刻意练习
练3
135°
如图，四边形ABCD为☉O的内接正方形，
点P为劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），
则∠BPC的度数是 .
C
D
B
A
P
O
练4
如图，线段AB是直径，点D是☉O上一点，
∠CDB=20 °,过点C作☉O的切线交AB的
延长线于点E,则∠E等于 .
O
C
A
B
E
D
50°
刻意练习
练5
如图，⊙O 的弦 AB 和直径 CD 交于点 E，且 CD 平分 AB.
(2) 若 AB = 16，OC = 10，那么 CE 的长是 ；
(1) 若 OC = 13，CE = 8，那么 AB 的长是______；
(3) 若 AB = 8，CE = 2，那么⊙O 的半径长是______．
24
4
5
A
B
C
D
O
E
考点梳理
考点二：与圆有关的位置关系
例1
平面直角坐标系中，M 点坐标为 (-2，3)，以 2 为半径画⊙M，则以下结论正确的是（　　）
A．⊙M 与 x 轴相交，与 y 轴相切
B．⊙M 与 x 轴相切，与 y 轴相离
C．⊙M 与 x 轴相离，与 y 轴相交
D．⊙M 与 x 轴相离，与 y 轴相切
D
考点梳理
例2
☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置关系是（ ）
A．点A在☉O内部 B．点A在☉O上
C．点A在☉O外部 D．点A不在☉O上
解析：此题需先计算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A与 ☉O的关系.
D
考点梳理
例3
工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.
8mm
A
B
8
C
D
O
解析 设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.
考点梳理
例4
A
O
B
C
E
F
如图，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2,连接AC,BC,过点O作OE ⊥AC,OF ⊥BC，垂足分别为E,F，连接EF，则EF的长度等于 .
（
刻意练习
练1
☉O 的半径为 R，圆心到点 A 的距离为 d，且 R、d 分别是方程 x2－6x＋8＝0 的两根，则点 A 与☉O 的位置关系是（ ）
A. 点 A 在☉O 内部 B. 点 A 在☉O 上
C. 点 A 在☉O 外部 D. 点 A 不在☉O 上
D
练2
如图, AB 是☉O 的直径, DA 与☉O 相切于 点 A , DO 交☉O 于点 C, 连接 BC．若∠ABC ＝ 21°,则∠ADC 的度数为（ ）
A. 46° B. 47° C. 48° D. 49°
C
刻意练习
练3
如图, AB 是☉O 的弦, BC 与☉O 相切于点 B, 连接
OA , OB．若∠ABC ＝ 65°, 则∠A 等于（ ）
A. 20° B. 25°
C. 35° D. 75
B
考点梳理
考点三：切线的判定与性质
例1
如图，BE 是⊙O 的直径，点 A 是圆上一点，过点 A 作⊙O 的切线交 BE 延长线于点 C，若 AB = AC，CE = 4，⊙O 的半径长为_____．
4
A
B
C
E
O
考点梳理
例2
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，连接BD.
点E为BC的中点，连接ED，试证明ED与☉O相切.
又∵∠OBD+∠DBC=90°，∠C+∠DBC=90°，
∴∠C=∠OBD，∴∠BDO=∠CDE.
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
即∠BDE+∠CDE=90°.
∴∠BDE+∠BDO=90°，即∠ODE=90°.∴ED与☉O相切.
证明：连接OD，在Rt△BDC中，
∵E是BC的中点，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE.
又OD=OB，∴∠ODB=∠OBD.
考点梳理
例3
如图，直线AB,CD相交于点O， ∠AOD=30 °,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后☉P与直线CD相切.
4或8
解析： 根本题应分为两种情况：(1)☉P在直线CD下面与直线CD相切；(2)☉P在直线CD上面与直线CD相切.
A
B
D
C
P
P2
P1
E
o
考点梳理
例4
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，过点D的切线交BC于E. 求证：BC=2DE.
证明：连接BD，
∵AB为直径，∠ABC=90°，
∴BE切☉O于点B.
又∵DE切☉O于点D，∴DE=BE，
∴∠EBD=∠EDB.
∵∠ADB=90°，
∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE+∠CDE=90°.
∴∠C=∠CDE，DE=CE. ∴BC=BE+CE=2DE.
刻意练习
练1
如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于
点D，且过点D的切线DE平分边BC.问：BC与⊙O是否相切？
解：BC与⊙O相切．理由：连接OD，BD，
∵DE切⊙O于D，AB为直径，
∴∠EDO＝∠ADB＝90°.
又DE平分CB，∴DE＝ BC＝BE.
∴∠EDB＝∠EBD.
又∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°，即∠ABC＝90°.
∴BC与⊙O相切．
刻意练习
练2
B
北
60°
30°
A
C
如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向东航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏东30°的方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由.
（参考数据 =1.732）
刻意练习
练2
B
北
60°
30°
A
C
D
解：如图，作AD垂直于BC于D，
根据题意，得BC=8.设AD为x.
∵∠ABC=30°，∴AB=2x.
BD= x.
∵∠ACD=90°-30°=60°，
∴ AD=CD×tan60°，CD= .
BC=BD-CD= =8.
解得 x=
即渔船继续往东行驶，有触礁的危险.
考点梳理
考点四：弧长与面积
例1
如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的圆上, OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，求扇形OEF的面积.
解：∵四边形OABC为菱形
∴OC=OA=1
∵ ∠AOC=120°，∠1=∠2
∴ ∠FOE=120°
又∵点C在以点O为圆心的圆上
考点梳理
例2
如图，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.
解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合，
点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示.
根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形.
∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.
在Rt△AC'C中，得
∴正方形ABCD外接圆的半径为
∴正方形ABCD的边长为
考点梳理
例3
如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形．
（1）求正方形EFGH的面积；
解：（1）∵正六边形的边长与其半径相等，∴EF=OF=5.
∵四边形EFGH是正方形，
∴FG=EF=5，
∴正方形EFGH的面积是25.
考点梳理
例3
（2）∵正六边形的边长与其半径相等，
∴∠OFE=600.
∴正方形的内角是900，
∴∠OFG=∠OFE +∠EFG=600+900=1500.
由⑴得OF=FG，
∴∠OGF= （1800-∠OFG）
= （1800-1500）=150.
（2）连接OF、OG，求∠OGF的度数．
刻意练习
练1
一条弧所对的圆心角为135 ° ，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 .
40cm
若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为______.
练2
练3
正六边形 ABCDEF 内接于 ☉O , 且 正六边形的周长是 12 , 则 ☉O 的半径是（ ）
A. B. 2
C． D.
B
刻意练习
练4
如图，已知 C，D 是以 AB 为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，半径 OA = 2，∠COD = 120°，则图中阴影部分的面积等于_______．
练5
如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠CAB = 30°，BC = 2，以 AB 的中点 O 为圆心，OA 的长为半径作圆交 AC 于点 D，则图中阴影部分的面积为
_________.