2024-2025学年福建省福州市福九联盟高二上学期期中联考数学试题(含答案）

2024-2025学年福建省福州市福九联盟高二上学期期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两直线与直线平行，则( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是( )
A. B. C. D.
3.过点的直线与圆：交于两点，当弦最短时，直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的焦距为，则的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
5.若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点( )
A. B. C. D.
6.已知实数满足，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 点斜式可以表示任何直线
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线关于点对称的直线方程是
D. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是
10.已知圆：和圆：，则( )
A. 若两圆相交，则
B. 直线可能是两圆的公切线
C. 两圆公共弦长的最大值为
D. 两圆公共弦所在的直线方程可以是
11.已知正方体棱长为，为平面内一点，为中点．下列论述正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则到直线的距离为
C. 若，则有且仅有一个点，使得平面
D. 若，则平面与底面所成角正弦值的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量分别是平面的法向量，若，则_______________
13.平面内点满足，其中，，且，则的面积为____．
14.在直角坐标平面内，，，是，两点的直线距离，定义：叫做，两点的“城市街区距离”。已知是圆上一点，是直线上一点，则，两点的直线距离最小值是 ，，两点的“城市街区距离”最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是．
求点的坐标；判断的形状．
16.本小题分
在平行六面体中， 在上且， 为的中点，，，，，记，，．
用，，表示；
求异面直线与所成角的余弦值．
17.本小题分
如图，某海面上有三个小岛面积大小忽略不计，岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛千米处．以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过三点．
求圆的方程；
若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
18.本小题分
如图，四边形与均为菱形，，，。
求证：平面；
为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值；
设中点为，为四边形内的动点含边界且，求动点的轨迹长度．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，是椭圆上任一点，的面积的最大值为．
求椭圆的标准方程；
四边形 的 顶点在椭圆上，且对角线、过原点，设，
若，求证：直线和直线的斜率之和为定值；
若，求四边形周长的取值范围．
参考答案
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15.解：，，
所以直线方程是，化简得，
联立，解得，
所以；
设，则，代入方程得，
联立方程，解得，，所以，
，，，
所以，所以是直角三角形．
16.解：
由可知
设与所成角为
则
所以异面直线与所成角的余弦值是．
17.解：设过，，三点的圆的方程为，，
代入，，，解得，，，
所以圆的方程为：即．
该船初始位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为，
故该船航行方向为直线，即，
由于圆心到直线的距离，
故该船没有触礁危险．
18.解：设与相交于点，连接，
四边形为菱形，，且为中点，
，，
又，，平面，平面
连接，四边形为菱形，且，为等边三角形，
为中点，，又，
又，，平面
平面
，，两两垂直，
建立空间直角坐标系，如图所示，
，四边形为菱形，，
，，
为等边三角形，，
，，，，
，，，，
设平面法向量为，
则取得
为线段上的动点，设，，
设与平面所成角为
当时，取最大值为．
为中点，，设，
则，，
，即
化简得，
故动点的轨迹为心为圆心，为半径的圆在四边形内部部分即圆心角为的圆弧
所求轨迹长度为．
19.解：由题意，，
又，解得，
所以椭圆的标准方程为．
如图所示显然直线斜率存在，设方程为设，
联立，消去整理得，，
则．
由韦达定理，得
，
，解得，
又．，
所以直线和直线的斜率之和为定值．
若直线斜率不存在，则设，则，因为，所以，
所以，所以所以．
若直线斜率存在，设方程为于是 ，化简得．
故．
令，则，．
所以．
因为，所以当时，当时，，
综上，的取值范围为
四边形周长的取值范围是

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