2024-2025学年福建省福州市福九联盟高二上学期期中联考数学试题(含答案)

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名称 2024-2025学年福建省福州市福九联盟高二上学期期中联考数学试题(含答案)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2024-11-27 14:54:02

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文档简介

2024-2025学年福建省福州市福九联盟高二上学期期中联考数学试题
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知两直线与直线平行,则( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中,点关于轴对称的点坐标是( )
A. B. C. D.
3.过点的直线与圆:交于两点,当弦最短时,直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的焦距为,则的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
5.若直线与直线关于直线对称,则直线一定过定点( )
A. B. C. D.
6.已知实数满足,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.如图,在圆锥中,是底面圆的直径,,,为的中点,为的中点,则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为,过的直线与椭圆交于两点,若且,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列说法中,正确的有( )
A. 点斜式可以表示任何直线
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线关于点对称的直线方程是
D. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是
10.已知圆:和圆:,则( )
A. 若两圆相交,则
B. 直线可能是两圆的公切线
C. 两圆公共弦长的最大值为
D. 两圆公共弦所在的直线方程可以是
11.已知正方体棱长为,为平面内一点,为中点.下列论述正确的是( )
A. 若,则
B. 若,则到直线的距离为
C. 若,则有且仅有一个点,使得平面
D. 若,则平面与底面所成角正弦值的取值范围为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知向量分别是平面的法向量,若,则_______________
13.平面内点满足,其中,,且,则的面积为____.
14.在直角坐标平面内,,,是,两点的直线距离,定义:叫做,两点的“城市街区距离”。已知是圆上一点,是直线上一点,则,两点的直线距离最小值是 ,,两点的“城市街区距离”最小值是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中,已知,边上的中线所在直线方程是,边的高线所在直线方程是.
求点的坐标;判断的形状.
16.本小题分
在平行六面体中, 在上且, 为的中点,,,,,记,,.
用,,表示;
求异面直线与所成角的余弦值.
17.本小题分
如图,某海面上有三个小岛面积大小忽略不计,岛在岛的北偏东方向距岛千米处,岛在岛的正东方向距岛千米处.以为坐标原点,的正东方向为轴的正方向,千米为单位长度,建立平面直角坐标系,圆经过三点.
求圆的方程;
若圆区域内有暗礁,现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处,正沿着北偏东方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险?
18.本小题分
如图,四边形与均为菱形,,,。
求证:平面;
为线段上的动点,求与平面所成角正弦值的最大值;
设中点为,为四边形内的动点含边界且,求动点的轨迹长度.
19.本小题分
已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为、,是椭圆上任一点,的面积的最大值为.
求椭圆的标准方程;
四边形 的 顶点在椭圆上,且对角线、过原点,设,
若,求证:直线和直线的斜率之和为定值;
若,求四边形周长的取值范围.
参考答案
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15.解:,,
所以直线方程是,化简得,
联立,解得,
所以;
设,则,代入方程得,
联立方程,解得,,所以,
,,,
所以,所以是直角三角形.
16.解:
由可知
设与所成角为

所以异面直线与所成角的余弦值是.
17.解:设过,,三点的圆的方程为,,
代入,,,解得,,,
所以圆的方程为:即.
该船初始位置为点,则,且该船航线所在直线的斜率为,
故该船航行方向为直线,即,
由于圆心到直线的距离,
故该船没有触礁危险.
18.解:设与相交于点,连接,
四边形为菱形,,且为中点,
,,
又,,平面,平面
连接,四边形为菱形,且,为等边三角形,
为中点,,又,
又,,平面
平面
,,两两垂直,
建立空间直角坐标系,如图所示,
,四边形为菱形,,
,,
为等边三角形,,
,,,,
,,,,
设平面法向量为,
则取得
为线段上的动点,设,,
设与平面所成角为
当时,取最大值为.
为中点,,设,
则,,
,即
化简得,
故动点的轨迹为心为圆心,为半径的圆在四边形内部部分即圆心角为的圆弧
所求轨迹长度为.
19.解:由题意,,
又,解得,
所以椭圆的标准方程为.
如图所示显然直线斜率存在,设方程为设,
联立,消去整理得,,
则.
由韦达定理,得

,解得,
又.,
所以直线和直线的斜率之和为定值.
若直线斜率不存在,则设,则,因为,所以,
所以,所以所以.
若直线斜率存在,设方程为于是 ,化简得.
故.
令,则,.
所以.
因为,所以当时,当时,,
综上,的取值范围为
四边形周长的取值范围是

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