2024-2025学年广东省广州市华南师范大学附属中学高二年级第一学期期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省华南师范大学附属中学高二年级第一学期期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
3.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4.已知直线平分圆的周长，则( )
A. B. C. D.
5.双曲线的一条渐近线为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.若是第二象限角，且，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱上靠近点的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为，则四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A. 若，则 B. 若，共线，则
C. 不可能是单位向量 D. 若，则
10.已知为正实数，，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值 D. 的最小值为
11.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积如下图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，左、右顶点分别为，，，，设的离心率为，则( )
A. 若，则
B. 四边形的面积与的面积之比为
C. 四边形的内切圆方程为
D. 设椭圆外阴影部分的面积为，椭圆内阴影部分的面积为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线恒过的定点坐标为 ．
13.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ．
14.已知椭圆的一个焦点为，短轴的长为为上异于，的两点．设，，且，则的周长的最大值为____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，且．
求
若为边上一点，，，，求．
16.本小题分
已知直线经过点与点，圆与轴相切于点，且圆心在直线上
求圆的方程
圆与圆相交于，两点，求两圆的公共弦的长．
17.本小题分
本题不能使用空间向量如图，在三棱柱中，底面中角为直角，，侧面底面，，直线与平面所成角为．
求证：平面平面
求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的焦点为，，左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的动点，的周长为．
求椭圆的标准方程
设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，．
(ⅰ)求证：为定值
(ⅱ)设直线，证明：直线过定点．
19.本小题分
若坐标平面内的曲线与某正方形四条边的所在直线均相切，则称曲线为正方形的一条“切曲线”，正方形为曲线的一个“切立方”．
试写出圆的一个切立方的四条边所在直线的方程
已知正方形的方程为，且正方形为双曲线的一个“切立方”，求双曲线的离心率的取值范围
已知为函数的图象上任一点，则函数在点处的切线方程为若奇函数的定义域为，且在时，设函数的图象为曲线，试问曲线是否存在切立方，并说明理由．
参考答案
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15.解：，
则，所以，
因为，所以；
由得，，因为，所以，
如图在中，
由余弦定理，即，
在中，由正弦定理，即，所以，
因为，故．
16.解：经过点与点的直线方程为，
即．
由题意可得，圆心在直线上，
由，解得圆心坐标为，
故圆的半径为．
则圆的方程为；
圆的方程为，
即，
圆：，
两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为．
圆的圆心到直线的距离．
两圆的公共弦的长为．

17.证明：因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为，、平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
解：因为平面，平面，
所以直线与平面所成的角为，所以，
因为，且，，，故，
作交于，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
作交于，连接，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以是二面角的平面角，
因为即，所以，
因为即，所以，
所以，
所以二面角的正弦值为．
18.解：由题意可知，且的周长为，
所以，则，
所以椭圆的标准方程为．
证明：设，，．
由题可知，，如下图所示：
则，，
而，于是，
所以，
又，则，
因此为定值．
设直线的方程为，，
由，得，
，
所以．
由可知，，
即
，解得，满足，所以直线的方程为，
因此直线经过定点．
19.解：根据“切立方”的定义，结合图象可得，，，，答案不唯一
由正方形的方程为，则，
由正方形为双曲线的一个“切立方”，
则，联立可得，
整理得，
则，
整理得，即，
则，
所以
由题可知，设曲线上的一个点为，
则在该点处的切线方程为，即．
由函数为奇函数，其图象关于原点对称，
因此如果曲线是存在切立方，则正方形也关于原点对称，
故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为．
设第三个切点为，
同理可得另两条切线为．
若存在正方形，即，
不妨设，代入消元可得，令，
由函数在上连续不断，且，，
由零点存在性定理可知在上有解，
也即在上有解，
因此曲线存在切立方．
备注：答案不唯一，在，分别有一个解
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