2024-2025学年云南省昭通一中教研联盟高二(上)期中
数学试卷(B卷)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.满足条件的集合的个数是( )
A. B. C. D.
2.在四面体中,( )
A. B. C. D.
3.已知向量,,且,则( )
A. B. C. D.
4.棣莫佛定理:若复数,则,计算( )
A. B. C. D.
5.已知,,,,则( )
A. B. C. D.
6.已知平面经过点,且法向量为,是平面内任意一点,则( )
A. B. C. D.
7.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为,如不计容器的厚度,则球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.的内角,,的对边分别为,,,若的面积,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知空间中三点,,,则下列说法正确的是( )
A.
B. 与是共线向量
C. 和夹角的余弦值是
D. 与同向的单位向量是
10.若圆上至多存在一点,使得该点到直线的距离为,则实数可能为( )
A. B. C. D.
11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数被称为狄利克雷函数,其中为实数集,为有理数集,以下命题正确的是( )
A. 对于任意的,都有
B. 函数是偶函数,且函数的值域是
C. 若且为有理数,则对任意的恒成立
D. 在图象上存在不同的三个点,,,使得为等边三角形
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若样本数据,,,的方差为,则数据,,,的标准差为______.
13.若为空间两两夹角都是的三个单位向量,则 ______.
14.直线与圆交于,两点,则为坐标原点的取值范围是______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中,内角,,的对边分别为,,,已知.
求角;
求的取值范围.
16.本小题分
某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复,试求下列事件的概率:
第次拨号接通电话;
第次拨号才接通电话;
拨号不超过次而接通电话.
17.本小题分
年月日,电影捉妖记上映,上映至今全国累计票房已超过亿,某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况,在某场次的名观众中随机调查了名观众,已知抽到的观众年龄可分成组:,,,,,根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示.
根据已知条件,补充画完整频率分布直方图,并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数;
现在从年龄属于和的两组中随机抽取人,求他们属于同一年龄组的概率.
18.本小题分
已知圆心为的圆经过点和且圆心在直线上.
Ⅰ求圆的标准方程;
Ⅱ过点作圆的切线,求切线方程;
Ⅲ求直线上被圆所截得的弦长.
19.本小题分
如图,在四棱锥中,底面是梯形,,平面,,为的中点,平面.
求证:平面平面;
求平面与平面所成的角的正弦值.
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解:由题意,,
由正弦定理得:,
即,
所以,
又,
所以;
由,可得,
所以,
因为,所以,
故,
所以的取值范围为.
16.解:根据题意,由于人忘记了电话号码的最后一个数字,
现随意地拨号有种可能,正确数字只有一个,
第次接通电话可表示为,
第次拨号接通电话概率为.
设第次拨号接通电话,,,.
第次才接通电话可表示为,
第次拨号才接通电话概率为.
拨号不超过次而接通电话可表示为,
拨号不超过次而接通电话概率为
.
17.解:根据频率分布直方图,年龄在的频率为
,
年龄在的小矩形的高为,
补充画完整频率分布直方图如图所示,
估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为
;
年龄在内的频率为,对应的人数为,记为、、、;
年龄在内的频率为,对应的人数为,记为、;
现从这人中随机抽取人,基本事件是
、、、、、、、、、、、、、、,共种,
属于同一年龄组的基本事件是、、、、、、,共种,
所以,所求的概率是.
18.解:Ⅰ由题意设圆心,
因为,
即,
解得,
即,半径,
所以圆的标准方程为:;
Ⅱ当切线的斜率不存在时,则切线方程为,
此时圆心到直线的距离为,符合条件;
当切线的斜率存在时,设过的切线的方程为:,
即,
则圆心到切线的距离,
解得,
此时切线的方程为:,
即,
综上所述:过的切线方程为或;
Ⅲ圆心到直线,即的距离,
所以弦长.
19.解:证明:取的中点,连接,,如图,
为中点,
,,
,,
,确定平面,
又平面,平面平面,
,
平面,平面,
,
,,,,
,,平面,
平面,
平面,
平面平面.
平面,平面,
,
由是平行四边形,则,
以为原点,,所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系,如图,
设,则,,
,,,
,,
设平面的法向量为,平面与平面所成的角为,
则,则
令,则,
又平面的一个法向量为,
,
,
平面与平面所成的角的正弦值是.
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