2024-2025学年云南省昭通市昭通一中教研联盟高二（上）期中数学试卷（B卷）（含答案）

2024-2025学年云南省昭通一中教研联盟高二（上）期中
数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.满足条件的集合的个数是( )
A. B. C. D.
2.在四面体中，( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
4.棣莫佛定理：若复数，则，计算( )
A. B. C. D.
5.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知平面经过点，且法向量为，是平面内任意一点，则( )
A. B. C. D.
7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如不计容器的厚度，则球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.的内角，，的对边分别为，，，若的面积，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 与是共线向量
C. 和夹角的余弦值是
D. 与同向的单位向量是
10.若圆上至多存在一点，使得该点到直线的距离为，则实数可能为( )
A. B. C. D.
11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下命题正确的是( )
A. 对于任意的，都有
B. 函数是偶函数，且函数的值域是
C. 若且为有理数，则对任意的恒成立
D. 在图象上存在不同的三个点，，，使得为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的标准差为______．
13.若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ______．
14.直线与圆交于，两点，则为坐标原点的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
求的取值范围．
16.本小题分
某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
第次拨号接通电话；
第次拨号才接通电话；
拨号不超过次而接通电话．
17.本小题分
年月日，电影捉妖记上映，上映至今全国累计票房已超过亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的名观众中随机调查了名观众，已知抽到的观众年龄可分成组：，，，，，根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示．
根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；
现在从年龄属于和的两组中随机抽取人，求他们属于同一年龄组的概率．
18.本小题分
已知圆心为的圆经过点和且圆心在直线上．
Ⅰ求圆的标准方程；
Ⅱ过点作圆的切线，求切线方程；
Ⅲ求直线上被圆所截得的弦长．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是梯形，，平面，，为的中点，平面．
求证：平面平面；
求平面与平面所成的角的正弦值．
参考答案
1.
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14.
15.解：由题意，，
由正弦定理得：，
即，
所以，
又，
所以；
由，可得，
所以，
因为，所以，
故，
所以的取值范围为．
16.解：根据题意，由于人忘记了电话号码的最后一个数字，
现随意地拨号有种可能，正确数字只有一个，
第次接通电话可表示为，
第次拨号接通电话概率为．
设第次拨号接通电话，，，．
第次才接通电话可表示为，
第次拨号才接通电话概率为．
拨号不超过次而接通电话可表示为，
拨号不超过次而接通电话概率为
．
17.解：根据频率分布直方图，年龄在的频率为
，
年龄在的小矩形的高为，
补充画完整频率分布直方图如图所示，
估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为
；
年龄在内的频率为，对应的人数为，记为、、、；
年龄在内的频率为，对应的人数为，记为、；
现从这人中随机抽取人，基本事件是
、、、、、、、、、、、、、、，共种，
属于同一年龄组的基本事件是、、、、、、，共种，
所以，所求的概率是．
18.解：Ⅰ由题意设圆心，
因为，
即，
解得，
即，半径，
所以圆的标准方程为：；
Ⅱ当切线的斜率不存在时，则切线方程为，
此时圆心到直线的距离为，符合条件；
当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为：，
即，
则圆心到切线的距离，
解得，
此时切线的方程为：，
即，
综上所述：过的切线方程为或；
Ⅲ圆心到直线，即的距离，
所以弦长．
19.解：证明：取的中点，连接，，如图，
为中点，
，，
，，
，确定平面，
又平面，平面平面，
，
平面，平面，
，
，，，，
，，平面，
平面，
平面，
平面平面．
平面，平面，
，
由是平行四边形，则，
以为原点，，所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，
，，，
，，
设平面的法向量为，平面与平面所成的角为，
则，则
令，则，
又平面的一个法向量为，
，
，
平面与平面所成的角的正弦值是．
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