2024-2025学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
5.已知幂函数的图象过点，则( )
A. B. C. D.
6.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到以下信息：每月土地占地费单位：万元与仓库到车站的距离单位：成反比，每月库存货物费单位：万元与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为万元和万元这家公司应该把仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小．
A. B. C. D.
7.已知函数是上的增函数，是其图象上的两点，那么的解集的补集是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数当时，函数的值域为，则实数的取值集合为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的为( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若且，则
10.已知函数，，，已知的最小值为，则实数的取值可能为( )
A. B. C. D.
11.若，，且，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则实数的值为______．
13.已知函数满足条件：当，且时，；当，且时，请写出满足条件的一个 ______．
14.已知函数．
当时，在区间上的最小值为______；
当时，在区间上的最小值为，则实数的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知定义域为的函数满足：对任意，；当时，．
求在实数上的解析式；
在坐标系中画出的图象；作图要求：要标出顶点、与坐标轴的交点
解不等式：．
17.本小题分
已知函数．
若的解集为或，求不等式的解集；
若函数的图象恒在的上方，求的取值范围；
若在上单调递增，求的取值范围．
18.本小题分
给定函数．
当，时，求证在区间上单调递增；
已知在区间上的最大值为，求的最小值；
若在上恒成立且，求证：．
19.本小题分
有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数运用该结论解决以下问题：
直接写出函数的对称中心；
证明：函数的对称中心为；
若函数的对称中心为，求实数、的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.解：，
令，解得，
故A，所以，
当时，，
即，所以．
，，
若，则满足题意；
若，则，
要使，则需或，解得或；
若，则，此时满足；
综上，实数的取值范围为或
16.解：因为对任意，，
所以，
即的上的奇函数，所以，
当时，．
当时，，，
因为，
所以当时，，
所以；
画出的图象，如图所示：
当时，，解得，
当时，满足题意，
当时，，解得，
综上，．
17.解：函数，
的解集为或，故和为函数的两根，
由题意得，解得，，则不等式的解集为．
由，即恒成立，
当时，不合题意，
当时，满足题意，
当时，，解得，
综上，，
故实数的取值范围为
当时，对称轴为，又，
此时在上单调递增，满足题意；
当时，在上单调递增，满足题意；
当时，对称轴为，此时需，即，
此时，则在上单调递增．
综上，或，
故．
18.解：证明：由题设，令，
则
，
而，
所以，
即，
所以，
故在区间上单调递增；
由，
当且仅当，即时等号成立，
此时有，即，
所以，
所以当时，取得最小值为；
证明：由，
得恒成立，
又因为，，
所以，即，
又，得．
综上，，
整理得，则，
所以．
19.解：根据题意，，
则的对称中心为；
证明：根据题意，设，
由于，
则，
易得的定义域为，且，
则为奇函数，故函数的对称中心为；
根据题意，函数，其定义域为，
若函数的对称中心为，则的定义域也必须关于对称，必有，
则，
有，
变形可得，解可得，
故，．
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