2024-2025学年江西省南昌十九中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省南昌十九中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点与点关于轴对称，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则，两点的最短距离是
( )
A. B. C. D.
3.若圆：上存在两个点到直线：的距离为，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系( )
A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定
5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知点，分别为双曲线：的两个顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线：上的点到原点的距离为，焦点为，准线与轴的交点为，过上一点作于，若，则( )
A. B. C. D.
8.函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线：旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，则( )
A. 若，则直线的倾斜角为
B. 直线过定点
C. 若，则直线在轴和轴上的截距相等
D. 若直线不经过第二象限，则
10.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线例如：四叶草曲线：就是其中一种如图则下列结论正确的是( )
A. 曲线关于坐标原点对称
B. 曲线上的点到原点的最大距离为
C. 四叶草曲线所围的区域面积大于
D. 四叶草曲线恰好经过个整点横、纵坐标均为整数的点
11.在平面直角坐标系中，动点的轨迹为曲线，且动点到两个定点，的距离之积等于则下列结论正确的是( )
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线的方程为
C. 面积的最大值
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围是______．
13.已知椭圆：，则过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的长度为______．
14.设抛物线的焦点为，若：与抛物线有四个不同的交点，记轴同侧的两个交点为，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线：，其中点、依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点、依次为的左、右焦点点、分别为曲线、的圆心．
求的方程；
若点、分别在、上运动，点，求的最大值，并求出此时点、的坐标．
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，直线：，设圆的半径为，圆心在上．
若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
17.本小题分
设，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为．
求椭圆的方程；
若过的直线交椭圆于，两点，求证：为定值．
18.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是的右支上一点，且，的面积为．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ若的左、右顶点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，直线和的斜率分别即为和，求的最小值．
19.本小题分
已知抛物线：的焦点为，若的三个顶点都在抛物线上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．
设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为，求直线的方程；
已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于．
参考答案
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15.解：依题意，、，
所以，
所以的方程为；
，
当、、三点共线，同时、、三点共线，有，
由，、，则此时，
所以，，
则，同理可得．
16.解：根据题意，圆心在直线：上，也在直线上，
解得，，所以，所以圆：，
当切线斜率存在时，过点的切线方程可设为，即，
则，
所以切线方程，
当斜率不存在时，直线也与圆相切，
综上：所求切线直线方程为或；
设点，，因为，则，
即点的轨迹方程为，
又点在圆上，所以，
若存在这样的点，则与有交点，
即两圆的圆心距满足，
即，
解得或．
故的取值范围是．
17.解：设椭圆的焦距为，四边形为平行四边形，其面积设为，
则，所以，
所以，
又，
解得，，
所以椭圆的方程为．
证明：，当直线与轴重合时，的方程为，
此时不妨令，则；
当直线与轴不重合时，的方程可设为，
由，
得，，
设，，
则，，
，
，
，
综上所述，为定值．
18.解：Ⅰ不妨设双曲线的半焦距为，
因为的面积为，
所以，
解得，
易知，
对等式两边同时平方得，
又，
即，
因为，
解得，
因为双曲线的离心率为，
所以，
解得，
则双曲线的方程为；
Ⅱ由Ⅰ知，，，
因为直线的斜率不为，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
因为，，
所以，
即，
所以，
因为直线与的右支有交点，
所以，
故当，时，取得最小值，最小值为．
19.解：设、、，
由，两式相减，得，
所以，所以，
由题意可知，，所以，则，
由，所以，所以，线段的中点，
因此，直线的方程为，整理得，
因此，直线的方程；
证明：由可知，则，
由．，，
平方可得，当且仅当时取等号，显然，
所以，即，
将代入可得，解得，
所以点的横坐标小于．
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