2024-2025学年黑龙江省龙东联盟高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省龙东联盟高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的离心率( )
A. 与有关，但与无关 B. 与有关，且与有关
C. 与无关，但与有关 D. 与无关，且与无关
2.正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个正三角形的边长为( )
A. B. C. D.
3.一个电子产品由，两部分元器件组成，两部分有任何一部分损坏，该产品就无法正常工作若使用年后，部分损坏的概率为，部分损坏的概率为，且这两部分损坏与否相互独立，则该电子产品使用年后无法正常工作的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知圆和圆，若动圆与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
5.若双曲线的左、右两焦点分别为，，其渐近线上存在点满足，，则此双曲线渐近线的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知，是圆上的两个动点，点，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.若椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且在第一象限，的内心为，直线与直线的斜率分别为、，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知口袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取次，则( )
A. 取出的球颜色全不相同的概率为 B. 取出的球颜色不全相同的概率为
C. 取出的球恰有次红球概率为 D. 取出的球无红球的概率为
10.已知点，圆和圆，过圆上一点作圆的两条切线，，圆为的外接圆，则( )
A. 圆的半径为定值 B. 圆一定与圆相切
C. 的值可能等于 D. 当点的坐标为时，直线的方程为
11.平面内到两个定点距离之积为定值的点的轨迹被称为“卡西尼卵形线”若，是平面内的两个定点，平面内满足的动点的轨迹为曲线，则( )
A. 曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 动点的横坐标的取值范围是
C. 的取值范围是
D. 面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线的准线方程为______．
13.当点到直线的距离最大时，实数 ______．
14.已知椭圆，过椭圆的右焦点作直线交椭圆于，两点，交轴于点，若点在线段上，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙两人进行一次围棋对抗赛，采用局胜制，约定先胜局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束假设在每局中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立已知前两局中，甲、乙各胜局．
求再赛两局比赛就结束的概率；
求甲获得这次比赛胜利的概率．
16.本小题分
已知抛物线：，过点的直线与抛物线相交于，两点，且的最小值为．
求的值；
若线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为．
求证：；
若，求三棱台的体积；
若到平面的距离为，求的值．
18.本小题分
已知椭圆的右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点其中点在轴的上方，点，分别为椭圆的左、右顶点．
若的垂直平分线交轴于点，为坐标原点求的取值范围；
若直线和相交于点，试探究能否在一条定直线上运动？若能，求出的值，若不能，请说明理由．
19.本小题分
如图，已知双曲线的实轴长为，离心率为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于，两点．
求双曲线的方程；
求证：；
若与坐标轴不垂直的直线和双曲线的渐近线相交于，两点，且，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：每局中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，
用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”，
设“再赛两局结束这次比赛”为事件，
则，
因为，互斥，且，，，两两相互独立，
所以
，
故再赛两局结束这次比赛的概率为．
设“甲获得这次比赛胜利”为事件，
则，
故甲获得这次比赛胜利的概率为．
16.解：已知抛物线：，过点的直线与抛物线相交于，两点，
设直线的方程为，
将其代入抛物线方程得，
设，，
则，，
由
，
因为，
所以当时，取最小值，
所以，
解得．
已知线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为，
设，
则，，
所以，
整理得，
解得或，
直线的方程为或．
17.证明：取的中点为，连接，，
，且，
四边形为等腰梯形，
又，分别为，的中点，
，
，，
，且，平面，
平面，而平面，则；
解：由可知，，，
则为二面角的平面角，
当时，，棱台的高等于，
由，，得，
又棱台的上、下底面面积分别为，，
棱台的体积为；
解：由知，，
以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴，
过点作垂直于平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，
可得，，，，，
由，得，
，，
设平面的一个法向量为，
由，取，，
，到平面的距离为，
即，得，整理得，
解得或，
又，可得．
18.解：由题，可设直线的方程为，
，，中点的坐标为，
联立，化简得，
所以，，
则，，
所以的垂直平分线方程为，
令，可得，
所以，
所以的取值范围是；
因为，，
则直线的方程为，
直线的方程为，
由可得，
即，
因为，所以，
即，
所以
，
解得：，
所以能在一条定直线上运动，．
19.解：双曲线的实轴长为，离心率为，
，，，，又，
双曲线的方程为．
证明：当直线的斜率不存在时，不妨取，
此时，两点的坐标分别为，，
，
则，，即，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，
直线与圆相切，，即，
将代入，得，
，，
故
，
又，，，即，
综合上述，可知．
设，，的渐近线方程可写为，
将代入，得，
，，
，
由可得，
又，即，，
，
直线与坐标轴不垂直，，
，．
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