2024-2025学年广东省广州市广州七中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州七中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知、，若，则点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
2.空间内有三点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
3.圆与的公共弦长为( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系内，将直线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到直线，直线与直线间的距离为，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
5.圆关于直线对称的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
6.椭圆的左右焦点为，，为椭圆上第一象限内任意一点，关于的对称点为，关于的对称点为，则的周长为( )
A. B. C. D.
7.若曲线与曲线：有四个不同的交点，则实数的取值范围是( )
A. 或 B.
C. D.
8.已知直线：截圆：所得的弦长为，点，在圆上，且直线：过定点，若，则的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列给出的命题中正确的有( )
A. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
B. 点为平面上的一点，点是平面外一点，且，则
C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
D. 已知，则在上的投影向量为
10.下列给出的命题中正确的有( )
A. 若直线：与：互相垂直，则实数或
B. 直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为
C. 若圆上有且只有两个点到直线的距离为，则
D. 若直线与圆交于、两点，且其中为坐标原点，则实数
11.已知圆：，以下四个命题表述正确的是( )
A. 若圆与圆恰有一条公切线，则
B. 直线与圆恒有两个公共点
C. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为
D. 点在圆上，点在圆：上，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的标准方程为，并且焦距为，则实数的值为
______．
13.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱
，且，是的三等分点靠近点，则的长
为______．
14.已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线，，切点分别为、，直线，分别交轴于，两点，则 ______， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在菱形中，，是的中点，将沿直线翻折使点到达点的位置，为线段的中点．
求证：平面；
若平面平面，求直线与平面所成角的大小．
16.本小题分
已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．
求顶点和的坐标；
求外接圆的一般方程．
17.本小题分
如图，半圆所在的平面与矩形所在平面垂直，是半圆弧上一点端点除外，是半圆的直径，，．
求证：平面平面；是否存在点，使得二面角的正弦值为？若存在，求四棱锥的体积；若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线：截得的弦长为．
求圆的方程；
设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为．
求的方程，并说明是什么图形；
试探究：在直线上是否存在定点异于原点，使得对于上任意一点，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知圆：以及圆：．
求过点，并经过圆与圆的交点的圆的标准方程；
设，过点作斜率非的直线，交圆于、两点．
过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值；
设，过原点的直线与相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.证明：菱形中，，是的中点，
取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，所以且，
且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
连接，菱形中，，是的中点，
可得，可得，，，
所以平面，而平面，平面平面，
可得平面，平面，
所以，
设菱形的棱长为，，
，可得，
所以，
在菱形中，，，，
所以平面，平面，
可得，
所以，
设到平面的距离为，
则，
即，可得，
设与平面所成的角为，，
则．
可得．
即直线与平面所成角的大小为．
16.解：由，解得，可得顶点，
又因为，，
所以设的方程为，
将代入得，
由，解得，可得顶点，
顶点和的坐标分别为和．
设的外接圆方程为，
将、和三点的坐标分别代入得：
，解得
所以的外接圆的一般方程为．
17.解：证明：半圆所在的平面与矩形所在平面垂直，
又，又半圆所在的平面与矩形所在平面的交线为，
且面，
垂直半圆所在的平面，又在半圆所在的平面内，
，又是半圆弧上一点端点除外，是半圆的直径，
，且，
平面，又平面，
平面平面；
建系如图，根据题意可得：
，，，设，，
由知平面的法向量，
又，，
设平面的法向量为，
则，取，
若二面角的正弦值为，则二面角的余弦值的绝对值为，
，
，
，，
平方解得，，
存在为满足题意，
此时易得四棱锥的体积为．
18.解：设圆心，
则由圆与轴正半轴相切，可得半径．
圆心到直线的距离，由，解得．
故圆心为或，半径等于．
圆与轴正半轴相切圆心只能为
故圆的方程为．
设，则：，，
，
，
点在圆上运动，
，
即：，
，
所以点的轨迹方程为，
它是一个以为圆心，以为半径的圆．
假设存在一点满足条件，
设则：，
整理化简得：，
在轨迹上，
，
化简得：，
，
解得：，
存在满足题目条件．
19.解：设所求圆的方程为，
又过点，则，
所以，即，
故圆的标准方程为．
易知的圆心，半径，
由直线过点且斜率非，则可设：，
即点到直线的距离，
故，
由，且直线过点，则可设：，
即点到直线的距离，
故，
故，
当且仅当，即时，取等号，
故四边形的面积为最大值为．
设，，设直线：，
联立，消得，则，即，
直线的方程为，直线的直线方程为，
联立，解得，
由，则，即，
所以在定直线．
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