2024-2025学年天津市滨海新区塘沽一中高二（上）期中数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年天津市滨海新区塘沽一中高二（上）期中数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 72.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-27 15:03:05 | ||
图片预览
文档简介
2024-2025学年天津市滨海新区塘沽一中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过点，，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知圆和，则两圆的位置关系是( )
A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切
3.抛物线的准线方程是，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.若直线与直线平行，则实数的取值为( )
A. 或 B. C. D.
5.设，，向量，，，且，，则 ．
A. B. C. D.
6.双曲线的实轴长是虚轴长的倍，则( )
A. B. C. D.
7.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
8.如图，空间四边形中，，点在线段上，且，点为的中点，则( )
A. B.
C. D.
9.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
10.下列四个命题，其中真命题是( )
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若，，则点到直线的距离为
D. 向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是
11.双曲线的左焦点为，，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
12.法国数学家加斯帕蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为( )
椭圆的离心率为
到的左焦点的距离的最小值为
面积的最大值为
若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.已知圆过点，且圆心在轴负半轴上，则圆的标准方程为______．
14.焦点在轴上，右焦点到短轴端点距离为，到左顶点的距离为的椭圆的标准方程是______．
15.已知抛物线：上的点到焦点的距离为，则点到轴的距离为______．
16.在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ______．
17.平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为______．
18.已知圆与圆相交于点、若，则公共弦所在直线方程为______；若弦长，则 ______．
19.已知抛物线：的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于，两点，交于点，其中在第一象限，且，则直线的斜率为______，若的面积为，则 ______．
20.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为______，过双曲线上任一点作两渐近线的平行线，，它们和两条渐近线围成的平行四边形的面积为，则双曲线的方程为______．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
已知圆：，直线过点．
Ⅰ求圆的圆心坐标及半径长；
Ⅱ若直线与圆相切，求直线的方程；
Ⅲ当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求．
22.本小题分
设椭圆的离心率，过点．
求椭圆的方程；
直线与椭圆交于，两点．
当时，求；
当时，求值为坐标原点．
23.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的正弦值；
Ⅲ记的中点为，若在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长．
24.本小题分
设椭圆的左焦点为，下顶点为，上顶点为，是等边三角形．
Ⅰ求椭圆的离心率；
Ⅱ设直线：，过点且斜率为的直线与椭圆交于点异于点，线段的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点，若．
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)已知点，点在椭圆上，若四边形为平行四边形，求椭圆的方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18. 或
19.
20.
21.解：Ⅰ圆：可化为，
则圆心，半径；
Ⅱ当直线斜率不存在时，直线：，此时直线与圆相切，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线：，即，
则圆心到直线的距离，解得，则直线：，
综上：直线的方程为：或；
Ⅲ此时直线：，且，
则．
22.解：由题意可知，解得，
所以椭圆的方程为；
由题，设，，
联立，化简得，则，
所以，，
因此
；
联立，消去得，
则，解得，
所以，，
因为，所以，
即
，
解得：，均符合，
故．
23.Ⅰ证明：连接，则，
，四边形为平行四边形，，
，，且为的中点，
，，
，即，
又，、平面，
平面．
Ⅱ解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
同理可得，平面的法向量为，
，，
设二面角的平面角为，则，
故二面角的正弦值为．
Ⅲ解：设，，则，
而，
，
由Ⅱ知，平面的法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，，
化简得，，
解得或，
故线段的长为或．
24.解：由题意可知，，
，
．
．
，
设椭圆方程为，
联立得解得：，则，
为中点，
，
法：过点作垂直于，过点与点分别作轴，轴的平行线，其交点为，
由相似于可得：，
，
或舍，
直线的斜率为．
法：，
则所在的直线方程为，
令，
解得，
，
，
解得或舍．
直线的斜率为．
，
设，
四边形为平行四边形，
，
，
即，
又点在椭圆上，，
解得，
，
该椭圆方程为：．
第1页，共1页
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过点，，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知圆和，则两圆的位置关系是( )
A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切
3.抛物线的准线方程是，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.若直线与直线平行，则实数的取值为( )
A. 或 B. C. D.
5.设，，向量，，，且，，则 ．
A. B. C. D.
6.双曲线的实轴长是虚轴长的倍，则( )
A. B. C. D.
7.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
8.如图，空间四边形中，，点在线段上，且，点为的中点，则( )
A. B.
C. D.
9.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
10.下列四个命题，其中真命题是( )
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若，，则点到直线的距离为
D. 向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是
11.双曲线的左焦点为，，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
12.法国数学家加斯帕蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为( )
椭圆的离心率为
到的左焦点的距离的最小值为
面积的最大值为
若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.已知圆过点，且圆心在轴负半轴上，则圆的标准方程为______．
14.焦点在轴上，右焦点到短轴端点距离为，到左顶点的距离为的椭圆的标准方程是______．
15.已知抛物线：上的点到焦点的距离为，则点到轴的距离为______．
16.在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ______．
17.平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为______．
18.已知圆与圆相交于点、若，则公共弦所在直线方程为______；若弦长，则 ______．
19.已知抛物线：的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于，两点，交于点，其中在第一象限，且，则直线的斜率为______，若的面积为，则 ______．
20.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为______，过双曲线上任一点作两渐近线的平行线，，它们和两条渐近线围成的平行四边形的面积为，则双曲线的方程为______．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
已知圆：，直线过点．
Ⅰ求圆的圆心坐标及半径长；
Ⅱ若直线与圆相切，求直线的方程；
Ⅲ当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求．
22.本小题分
设椭圆的离心率，过点．
求椭圆的方程；
直线与椭圆交于，两点．
当时，求；
当时，求值为坐标原点．
23.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的正弦值；
Ⅲ记的中点为，若在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长．
24.本小题分
设椭圆的左焦点为，下顶点为，上顶点为，是等边三角形．
Ⅰ求椭圆的离心率；
Ⅱ设直线：，过点且斜率为的直线与椭圆交于点异于点，线段的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点，若．
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)已知点，点在椭圆上，若四边形为平行四边形，求椭圆的方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18. 或
19.
20.
21.解：Ⅰ圆：可化为，
则圆心，半径；
Ⅱ当直线斜率不存在时，直线：，此时直线与圆相切，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线：，即，
则圆心到直线的距离，解得，则直线：，
综上：直线的方程为：或；
Ⅲ此时直线：，且，
则．
22.解：由题意可知，解得，
所以椭圆的方程为；
由题，设，，
联立，化简得，则，
所以，，
因此
；
联立，消去得，
则，解得，
所以，，
因为，所以，
即
，
解得：，均符合，
故．
23.Ⅰ证明：连接，则，
，四边形为平行四边形，，
，，且为的中点，
，，
，即，
又，、平面，
平面．
Ⅱ解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
同理可得，平面的法向量为，
，，
设二面角的平面角为，则，
故二面角的正弦值为．
Ⅲ解：设，，则，
而，
，
由Ⅱ知，平面的法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，，
化简得，，
解得或，
故线段的长为或．
24.解：由题意可知，，
，
．
．
，
设椭圆方程为，
联立得解得：，则，
为中点，
，
法：过点作垂直于，过点与点分别作轴，轴的平行线，其交点为，
由相似于可得：，
，
或舍，
直线的斜率为．
法：，
则所在的直线方程为，
令，
解得，
，
，
解得或舍．
直线的斜率为．
，
设，
四边形为平行四边形，
，
，
即，
又点在椭圆上，，
解得，
，
该椭圆方程为：．
第1页，共1页
同课章节目录