2024-2025学年广东省惠州市惠州一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省惠州一中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过点和两点，则直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.直线：，直线：，则直线是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知两个非零向量，它们平行的充要条件是( )
A. B.
C. D. 存在非零实数，使
4.如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于，两点，设，，若内切圆的面积为，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆：和圆：恰有三条公共切线，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.将边长为的正方形沿对角线翻折，使得二面角的平面角的大小为，若点，分别是线段和上的动点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若且，则点的轨迹是圆后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆简称“阿氏圆”在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆，，则为椭圆上的点到两焦点的距离之和，为两焦点之间的距离为( )
A. B. C. D.
10.已知点到直线：的距离为，则的可能取值是( )
A. B. C. D.
11.如图，八面体的每一个面都是边长为的正三角形，且顶点，，，在同一个平面内若点在四边形内包含边界运动，为的中点，则( )
A. 当为的中点时，异面直线与所成角为
B. 当平面时，点的轨迹长度为
C. 当时，点到的距离可能为
D. 存在一个体积为的圆柱体可整体放入内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为______．
13.已知椭圆的长轴长为，离心率为若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为______．
14.在平面直角坐标系中，点，，从直线上一点向圆引两条切线，，切点分别为，，则直线过定点，定点坐标为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，求：
边上的中线所在的直线方程；
边垂直平分线方程．
16.本小题分
著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，分别为椭圆的长半轴长和短半轴长为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：．
求的面积；
若直线：交于，两点，求．
17.本小题分
如图，平面，，，，，，．
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面的夹角．
18.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，若斜率为的直线过椭圆的焦点以及点点是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值．
求椭圆的方程；
过点的直线交椭圆于点、，且满足为坐标原点，求直线的方程．
19.本小题分
蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，，直线与圆交于，原点在圆内设交轴于点，交轴于点．
当，，，时，分别求线段和的长度；
求证：．
猜想和的大小关系，并证明．
参考答案
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15.解：，，．
中点坐标为，直线的斜率，
所以边上的中线所在的直线方程为，即；
中点坐标为，
直线的斜率，
所以，边垂直平分线的斜率且过，
故AB边垂直平分线方程为，整理得．
16.解：椭圆的方程为，
，，
，，
椭圆的面积．
联立，得，
，
，，
．
17.解：以为原点，，，分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
，，，，，
设平面法向量，，，
则，令，则，，所以，
因为，设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值．
设平面法向量，，，
则，
令，则，，所以，
由知，
设平面与平面的夹角为，
所以，
因为，
所以平面与平面的夹角为．
18.解：直线，直线过椭圆焦点，所以，该焦点坐标为，
则，又的面积最大值，则，
所以，，，
故椭圆的方程为
当直线的斜率存在时，设：，
代入整理得，
设、，则，，
所以，，
点到直线的距离，
因为，即，
又由，得，
所以，，
而，，即，
解得，此时；
当直线的斜率不存在时，：，直线交椭圆于点、，
也有，经检验，上述直线均满足，
综上：直线的方程为或．
19.解：当，，，时，
圆：，
直线：，由或，故C，；
直线：，由或，故E，．
所以直线：，令，得，即；
直线：，令，得，即．
所以．
证明：由题意：．
由，
则，是该方程的两个解，
由韦达定理得：，，
所以．
同理可得：，所以．
猜测，证明如下：
设点，．
因为，，三点共线，所以：，
又因为点在直线上，所以；点在直线上，所以．
所以；
同理因为，，三点共线，可得：．
由可知：，
所以．
即，所以成立．
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