2016北师大版数学必修二教学设计：1.4.2空间图形的公理
文档属性
| 名称 | 2016北师大版数学必修二教学设计：1.4.2空间图形的公理 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 142.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-03-24 17:33:40 | ||
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文档简介
空间图形的公理教案
一、教材的地位与作用
本节课为北师大版《必修2》第一章4.2节 ( http: / / www.21cnjy.com )的第一课时，是在学习了简单几何体、直观图、三视图和空间图形基本关系的基础上，来进一步研究空间四个公理和等角定理，属“概念分类型课”，培养学生归纳能力、三种数学语言的转换能力和空间想象能力，对学生学习立体几何意义很大，是对前面所学内容的延续，同时为后面具体研究空间线面、面面的平行和垂直等做好铺垫，具有承前启后的作用。。
二、教学目标：
1.知识与技能：①通过学生动手实验、动态图片演示，使学生了解空间图形的四个公理和等角定理的概念
②让学生在探究的过程理解三个公理，并能将文字语言、符号语言和图形语言的相互转化
2.过程与方法：让学生体会从整体到局部，具体到抽象、抽象到具体的过程，培养学生类比归纳的能力
3.情感态度与价值观：使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，提高学生的观察能力
三、教学重难点
教学重点：①空间四个公理和等角定理概念的生成与理解
②空间四个公理和等角定理概念的应用
教学难点：空间四个公理和等角定理概念的应用
四、教法与学法
教学用具：投影仪、正（长）方形模型、直尺、棉线
五、教学过程
一、追溯
1. 回顾平面的两个特征：①无限延展 ②平直的（没有厚度）
2. 平面的画法：通常画平行四边形来表示平面
3. 用文字语言、符号语言和图形语言表述空间点线面的位置关系几种情况
4. 公理概念：就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )
设计意图：复习平面的概念及其表示方法（符号语言、图形语言），和空间点、线、面位置关系及表示，为讲解四个公理和定理作铺垫，承上启下。
二、讲解新课
创设情景、导入课题
探究问题一：①用一段较长拉直的棉线的两个端点固定在教室弧形黑板的上，让学生观察棉线与黑板的置关系
②把一把直尺边缘紧贴在桌面上，观察直尺的整个边缘与桌面的位置关系
设计意图：通过两个具体的实验，让学生直观感 ( http: / / www.21cnjy.com )受棉线、直尺与两种面的位置关系，比较两种情况，引导学生过渡到抽象的线面位置关系，让学生体会具体到抽象的过程，培养学生类比归纳的能力，引导学生归纳出公理1
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
符号语言： ． 图形语言：
或者：∵，∴
新知提炼：公理1说明了平面与曲面的本质区别 ( http: / / www.21cnjy.com )．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．
探究问题二 ①给出一只四条不是一样长腿的小凳子和一只三条腿的小凳子，让两个学生来观察那种凳子摆放平稳？
②让学生观察以下三张生活中常见的图片，为什么这样设计？
实例:(1) 自行车的撑脚； (2)摄像机的三角支架； (3)三轮车
设计意图：用身边常见的现象 ( http: / / www.21cnjy.com )和具体的模型给学生直观印象，动手比较两种凳子摇摆的情况，以及比较第二组图片中常见的设计，从具体物体摆放平稳过渡到抽象的点面的关系，使学生在课堂上有动脑思索和探究和数学思维活动，培养学生的抽象思维能力和归纳概括能力，引导学生归纳出公理2。
公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
符号语言：与重合 图形语言：
或者：∵不共线，∴存在唯一的平面，使得.
新知提炼：有且只有一个”的含义分两部分理解----①存在性 ②唯一性
公理2应用：①确定平面；②证明两个平面重合
思考交流：
经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？（推论1）
经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？ （推论2）
经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？ （推论3）
注：讲解公理2的三个推论时重在理解，淡化证明
公理2及三个推论是空间里确定一个平面位 ( http: / / www.21cnjy.com )置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．
探究问题三： 问题：如下图所示，三角板与平面有一个公共点，那么三角板与平面有多少个公共点？
( http: / / www.21cnjy.com )
动态的课件直观显示平面经过三角板面，动态生成平面与平面的交线
设计意图：揭示了平面的平直性、可延展性同时，体现课件的直观性，有助于培养学生的空间想象能力.完成从局部到整体的认识过程，从具体问题转化到面与面公共点的问题，探索出公理3
公理3如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线
符号语言： 图形语言：
或者：∵，∴
新知提炼：①公理3应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上
②公理3揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．
注：今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)
探究问题四：观察下图中的椎体和柱体，侧棱之间的关系如何？
( http: / / www.21cnjy.com )
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行
符号语言：∥ 图形语言：
新知提炼：①公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
②作用：判断空间两条直线平行的依据。
定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
∥∥
新知提炼：等角定理说明了空间角通过任意平行移动具有保值性,是异面直线所成角的基础.
三、范例讲解
例1 在空间四边形中，分别是边的中点，求证：四边形是平行四边形。
证明：如图，连接
，∥
∥
∥=
设计意图：
如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，
否则称为空间图形；
②考查公理4和公理2的推论的应用。
③让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。
例2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线在原正方体中的位置关系是
( )
解：将平面图形还原成正方体，如图所示
设计意图：考查平面图形与立体图形相互转换能力，培养学生的空间想象能力。
四、课堂练习
1.已知∥,∥,,则= .
2．以下四个命题中，正确命题的个数是________．
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
解析：①正确，可以用反证法证明；② ( http: / / www.21cnjy.com )从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．答案：1
3．如图，已知平面α、β，且α∩β＝，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，共点(相交于一点)．
证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，
∴AB，CD必定相交于一点．如图，设AB∩CD=M.
又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β，∴M∈α∩β，
又∵α∩β=，∴M∈， 即AB，CD，共点
设计意图：
①强化概念的内涵与外延
②公理3的灵活应用
③强化图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用
六、课堂小结
(1)四个公理及推论的概念及作用；
（2）等角定理的概念及应用
一、教材的地位与作用
本节课为北师大版《必修2》第一章4.2节 ( http: / / www.21cnjy.com )的第一课时，是在学习了简单几何体、直观图、三视图和空间图形基本关系的基础上，来进一步研究空间四个公理和等角定理，属“概念分类型课”，培养学生归纳能力、三种数学语言的转换能力和空间想象能力，对学生学习立体几何意义很大，是对前面所学内容的延续，同时为后面具体研究空间线面、面面的平行和垂直等做好铺垫，具有承前启后的作用。。
二、教学目标：
1.知识与技能：①通过学生动手实验、动态图片演示，使学生了解空间图形的四个公理和等角定理的概念
②让学生在探究的过程理解三个公理，并能将文字语言、符号语言和图形语言的相互转化
2.过程与方法：让学生体会从整体到局部，具体到抽象、抽象到具体的过程，培养学生类比归纳的能力
3.情感态度与价值观：使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，提高学生的观察能力
三、教学重难点
教学重点：①空间四个公理和等角定理概念的生成与理解
②空间四个公理和等角定理概念的应用
教学难点：空间四个公理和等角定理概念的应用
四、教法与学法
教学用具：投影仪、正（长）方形模型、直尺、棉线
五、教学过程
一、追溯
1. 回顾平面的两个特征：①无限延展 ②平直的（没有厚度）
2. 平面的画法：通常画平行四边形来表示平面
3. 用文字语言、符号语言和图形语言表述空间点线面的位置关系几种情况
4. 公理概念：就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )
设计意图：复习平面的概念及其表示方法（符号语言、图形语言），和空间点、线、面位置关系及表示，为讲解四个公理和定理作铺垫，承上启下。
二、讲解新课
创设情景、导入课题
探究问题一：①用一段较长拉直的棉线的两个端点固定在教室弧形黑板的上，让学生观察棉线与黑板的置关系
②把一把直尺边缘紧贴在桌面上，观察直尺的整个边缘与桌面的位置关系
设计意图：通过两个具体的实验，让学生直观感 ( http: / / www.21cnjy.com )受棉线、直尺与两种面的位置关系，比较两种情况，引导学生过渡到抽象的线面位置关系，让学生体会具体到抽象的过程，培养学生类比归纳的能力，引导学生归纳出公理1
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
符号语言： ． 图形语言：
或者：∵，∴
新知提炼：公理1说明了平面与曲面的本质区别 ( http: / / www.21cnjy.com )．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．
探究问题二 ①给出一只四条不是一样长腿的小凳子和一只三条腿的小凳子，让两个学生来观察那种凳子摆放平稳？
②让学生观察以下三张生活中常见的图片，为什么这样设计？
实例:(1) 自行车的撑脚； (2)摄像机的三角支架； (3)三轮车
设计意图：用身边常见的现象 ( http: / / www.21cnjy.com )和具体的模型给学生直观印象，动手比较两种凳子摇摆的情况，以及比较第二组图片中常见的设计，从具体物体摆放平稳过渡到抽象的点面的关系，使学生在课堂上有动脑思索和探究和数学思维活动，培养学生的抽象思维能力和归纳概括能力，引导学生归纳出公理2。
公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
符号语言：与重合 图形语言：
或者：∵不共线，∴存在唯一的平面，使得.
新知提炼：有且只有一个”的含义分两部分理解----①存在性 ②唯一性
公理2应用：①确定平面；②证明两个平面重合
思考交流：
经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？（推论1）
经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？ （推论2）
经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？ （推论3）
注：讲解公理2的三个推论时重在理解，淡化证明
公理2及三个推论是空间里确定一个平面位 ( http: / / www.21cnjy.com )置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．
探究问题三： 问题：如下图所示，三角板与平面有一个公共点，那么三角板与平面有多少个公共点？
( http: / / www.21cnjy.com )
动态的课件直观显示平面经过三角板面，动态生成平面与平面的交线
设计意图：揭示了平面的平直性、可延展性同时，体现课件的直观性，有助于培养学生的空间想象能力.完成从局部到整体的认识过程，从具体问题转化到面与面公共点的问题，探索出公理3
公理3如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线
符号语言： 图形语言：
或者：∵，∴
新知提炼：①公理3应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上
②公理3揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．
注：今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)
探究问题四：观察下图中的椎体和柱体，侧棱之间的关系如何？
( http: / / www.21cnjy.com )
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行
符号语言：∥ 图形语言：
新知提炼：①公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
②作用：判断空间两条直线平行的依据。
定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
∥∥
新知提炼：等角定理说明了空间角通过任意平行移动具有保值性,是异面直线所成角的基础.
三、范例讲解
例1 在空间四边形中，分别是边的中点，求证：四边形是平行四边形。
证明：如图，连接
，∥
∥
∥=
设计意图：
如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，
否则称为空间图形；
②考查公理4和公理2的推论的应用。
③让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。
例2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线在原正方体中的位置关系是
( )
解：将平面图形还原成正方体，如图所示
设计意图：考查平面图形与立体图形相互转换能力，培养学生的空间想象能力。
四、课堂练习
1.已知∥,∥,,则= .
2．以下四个命题中，正确命题的个数是________．
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
解析：①正确，可以用反证法证明；② ( http: / / www.21cnjy.com )从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．答案：1
3．如图，已知平面α、β，且α∩β＝，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，共点(相交于一点)．
证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，
∴AB，CD必定相交于一点．如图，设AB∩CD=M.
又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β，∴M∈α∩β，
又∵α∩β=，∴M∈， 即AB，CD，共点
设计意图：
①强化概念的内涵与外延
②公理3的灵活应用
③强化图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用
六、课堂小结
(1)四个公理及推论的概念及作用；
（2）等角定理的概念及应用