1 等腰三角形
第1课时 三角形全等和等腰三角形的性质
新课导学
知识点1 等腰三角形的两个底角相等，简述为等边对等角
温馨提示:已知三角形是等腰三角形，则可得到两底角相等（边角转化）.已知等腰三角形一个内角，要注意分析已知角是顶角还是底角，存在分情况讨论的可能性.
【例1】 若等腰三角形的顶角是 ，则它的底角是________.
【答案】
对点训练1．[2024·南山外国语学校期中]已知等腰三角形的一个内角是 ，则这个等腰三角形的顶角的度数是______________________.
【答案】 或
知识点2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）
温馨提示:已知三角形是等腰三角形，则可得到三线合一的结论，这也是引出辅助线的思路.
【例2】 如图，在中， ，，，垂足为，则________.
【答案】
对点训练2．如图，在中，，，平分，则____.
【答案】8
知识点3 全等三角形的判定定理和性质定理的应用
几条基本事实：（1）两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
（2）①两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
（3）②两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等
（4）③三边分别对应相等的两个三角形全等
全等三角形的性质定理：全等三角形的④对应边相等、⑤对应角相等.
【例3】 [2024·罗湖外国语期中改编]如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，求证：.
证明：，,
，，.在 和 中，，.
对点训练3．[2024·光明区期末]如图，已知，,添加下列哪个条件一定能使得的是________.
;;;.
【答案】
课堂通关
第一关 过基础
1．如图，在中，，于点，且，则的周长为（ ）.
A. 10 B. C. 12 D. 14
【答案】D
2．[2024·南山二外月考]等腰三角形一条腰上的高与另一腰的夹角为 ，则这个等腰三角形的顶角为（ ）.
A. B. C. 或 D.
【答案】C
3．（选自教材第4页随堂练习第2题）如图，在中，，垂足为，.
（1） 求证：是等腰三角形；
（2） 求的度数.
【答案】（1） 证明：， .,,，,是等腰三角形.
（2） 解：, ., , , ,即 .
4．（选自教材第4页习题1.1 第2题）如图，点,,,在同一条直线上，，,.求证：.
提示：证明，由 得.
第二关 过能力
5．（教材第3页随堂练习第1题改编）已知中，.
（1） 若 ，则________;
（2） 若 ，则________.
【答案】（1）
（2）
6．[2024·罗湖区期末]如图，在中，，以点为圆心，以长为半径作圆弧，交的延长线于点，连接．若，则________.
【答案】
第三关 过思维
7．[2024·南京师范大学附属中学二模]如图，已知，在边上取点，在的外部取点，连接,,，交于点，且 ，， ,则的度数为________．
【答案】
第2课时 等腰三角形中相等的线段及等边三角形的性质
新课导学
知识点1 等腰三角形中相等的线段
等腰三角形两底角的平分线①相等、两腰上的中线②相等、两腰上的高③相等.
温馨提示:（1）过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
（2）两腰上距顶点等距离的两点与底边端点的连线段相等.
【例1】 如图，在中，，，是的角平分线.
求证：.
证明：，,是 的角平分线,,，.在 和 中，，,,,
.
对点训练1．[教材第5页例1改编]如图，在中，，，分别是的边,上的中线.
求证：.
证明：，,分别是 的边，上的中线，,.在 和 中，,,,,.
知识点2 等边三角形的性质
（1）等边三角形的④三边相等.
（2）等边三角形的⑤三个内角相等，都等于⑥ .
（3）各边上的中线、高和所对的角的平分线⑦三线合一.
（4）是轴对称图形，有⑧3条对称轴.
【例2】 如图，在中，.
求证： .
证明：，（等边对等角）,同理可得.在 中，
，
.
对点训练2．[2024·高级中学期末]如图，是等边三角形,，分别是边,上的点，若, ,则________．
【答案】
课堂通关
第一关 过基础
1．如图，在中，，平分，交于点，若，则的度数是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
2．[2024·翠园中学期中]如图，在中，， ，于点，则等于（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
3．如图，已知是等边三角形,则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
4．[2024·福田外国语学校期中]用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知其中有一边的长为，那么该等腰三角形的腰长为____．
【答案】6
第二关 过能力
5．下列说法正确的有（ ）.
①有两条边、一个角相等的两个三角形全等；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③全等三角形对应边上的中线相等；④有一个角是 的三角形是等边三角形；⑤长度为，，的三条线段能构成直角三角形.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
6．如图，和都是等边三角形，且点，，分别在边，，上，若的周长为12，，求的长度．
解:和 都是等边三角形，，， ， ， ， ，.又，，，的周长为12，，.
第三关 过思维
7．[2023春·龙华区校级期中]在中，．
（1） 如图1，如果 ，是上的高，，则________.
（2） 如图2，如果 ，是上的高，，则________.
（3） 思考：通过以上两题，你发现与之间有什么关系？请用式子表示出来.
（4） 如图3，如果不是上的高，，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3） 或.
（4） 仍成立，理由如下:，，.又，，．
【解析】
（1） 解： 在 中，，是 上的高， ， .， ， ．故答案为 .
（2） 在 中，，是 上的高， ， . .， ， ．故答案为 .
第3课时 等腰三角形的判定及反证法
新课导学
知识点1 等腰三角形的判定定理的应用
判定1：有①两条边相等的三角形是等腰三角形（定义法）.
判定2：如果一个三角形中有②两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（简称“③等角对等边”）
温馨提示:等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定定理“等角对等边”都是实现三角形边角关系转化的重要依据.
【例1】 （教材第8页例2改编）如图，，请你添加一个条件，可以证明是等腰三角形，你添加的条件是____________________________.
【答案】（答案不唯一）
对点训练1．[2024·龙岗区南芳学校期中]如图， ， ，则下列结论错误的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
知识点2 反证法的应用
定义：先假设命题的结论④不成立，然后推导出与⑤定义、⑥基本事实、⑦已有定理或⑧已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为⑨反证法.
温馨提示：反证法证明的步骤：（1）假设命题结论不成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由这个矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确.
【例2】 [2024·龙华区期中]用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（ ）
A. 三个内角都锐角 B. 三个内角都是钝角
C. 三个内角都不是锐角 D. 三个内角都不是钝角
【答案】C
对点训练2．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于.
证明：假设这五个正数没有一个大于或等于，则这五个正数的和小于1，与五个正数的和等于1矛盾，所以这五个数中至少有一个大于或等于.
课堂通关
第一关 过基础
1．如图，， ，，则的度数是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
2．[2024·龙华区期中]在中，若 ， ，，则____．
【答案】5
第二关 过能力
3．如图，在中， ，，，过点作，垂足为，则的长为（ ）.
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
4．如图，在中，， ，， ，则的度数为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
第三关 过思维
5．[2024·长安实验中考一模改编]如图，在中，，，证明：．
证明：，.在 和 中，．
6．[2024·百合外国语学校期中]如图，点在线段上，,,,平分．
（1） 证明：;
（2） 若,,求的面积.
【答案】（1） 证明：，.在 和 中，.
（2） 解：由（1）知，.又 平分，，,垂直平分,,，，即 的面积是12.
第4课时 等边三角形的判定及含角的直角三角形
新课导学
知识点1 运用等边三角形的性质定理和判定定理解题
判定1：三边①都相等的三角形是等边三角形.（定义法）
判定2：三个角②都相等的三角形是等边三角形.
判定3：有一个角等于③ 的等腰三角形是等边三角形.
温馨提示:已知或求证了一个三角形是等边三角形，则必然要使用等边三角形的边角性质.在判定一个三角形是等边三角形时，要根据已知或者隐含的边角条件，选择恰当的判定定理.
【例1】 如图，在中，, .
求证：是等边三角形.
证明：, ，
， .
是等边三角形.
对点训练1．[2023·龙岗区期末]由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆（为衣架的固定点）,如图2，若衣架收拢时, ，则此时，两点之间的距离是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
知识点2 直角三角形的性质定理
性质定理：在直角三角形中，如果④一个锐角等于 ，那么⑤它所对的直角边等于斜边的一半.
温馨提示：这个定理的前提是在直角三角形中，经常和直角三角形的两个锐角互余结合在一起使用，是直角三角形中求边长的重要手段.
【例2】 [2024·廊坊市期末]如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在处测得 ，再往前行进到达处，测得 ，点，，在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
对点训练2．如图，在中， ， ，，则（ ）.
A. 4 B. C. D.
【答案】A
课堂通关
第一关 过基础
1．下列三角形：①有两个角等于 的三角形；②有一个角等于 的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）.
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③ D. ②③④
【答案】A
2．如图，在等腰中，， ，于点，则________.
【答案】
3．如图，在中，， ，交于点，，则________．
【答案】
4．如图,，，，求证：为等边三角形.
证明：，.又，，.又，，为等边三角形.
第二关 过能力
5．如图，已知，是线段上任意一点，在的同侧分别以和为边作两个等边和，则线段的长度的最小值是（ ）.
A. 4 B. 5 C. 6 D.
【答案】B
6．[2023·深圳中学校联考二模]如图，在中，点在边上，，，交的延长线于点，若，，则________.
【答案】
第三关 过思维
7．[2024·高级中学月考]在如图所示的三角形纸片中，，将纸片沿过点的直线折叠，折痕为,再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，若，的周长为13，则的长为________.
【答案】1 等腰三角形
第1课时 三角形全等和等腰三角形的性质
新课导学
知识点1 等腰三角形的两个底角相等，简述为等边对等角
温馨提示:已知三角形是等腰三角形，则可得到两底角相等（边角转化）.已知等腰三角形一个内角，要注意分析已知角是顶角还是底角，存在分情况讨论的可能性.
【例1】 若等腰三角形的顶角是 ，则它的底角是________.
对点训练1．[2024·南山外国语学校期中]已知等腰三角形的一个内角是 ，则这个等腰三角形的顶角的度数是______________________.
知识点2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）
温馨提示:已知三角形是等腰三角形，则可得到三线合一的结论，这也是引出辅助线的思路.
【例2】 如图，在中， ，，，垂足为，则________.
对点训练2．如图，在中，，，平分，则____.
知识点3 全等三角形的判定定理和性质定理的应用
几条基本事实：（1）两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
（2）①分别对应相等的两个三角形全等
（3）②分别对应相等的两个三角形全等
（4）③分别对应相等的两个三角形全等
全等三角形的性质定理：全等三角形的④相等、⑤相等.
【例3】 [2024·罗湖外国语期中改编]如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，求证：.
对2,添加下列哪个条件一定能使得的是________.
;;;.
课堂通关
第一关 过基础
1．如图，在中，，于点，且，则的周长为（ ）.
A. 10 B. C. 12 D. 14
2．[2024·南山二外月考]等腰三角形一条腰上的高与另一腰的夹角为 ，则这个等腰三角形的顶角为（ ）.
A. B. C. 或 D.
3．（选自教材第4页随堂练习第2题）如图，在中，，垂足为，.
（1） 求证：是等腰三角形；
（2） 求的度数.
4．（选自教材第4页习题1.1 第2题）如图，点,,,在同一条直线上，，,.求证：.
第二关 过能力
5．（教材第3页随堂练习第1题改编）已知中，.
（1） 若 ，则________;
（2） 若 ，则________.
6．[2024·罗湖区期末]如图，在中，，以点为圆心，以长为半径作圆弧，交的延长线于点，连接．若，则________.
第三关 过思维
7．[2024·南京师范大学附属中学二模]如图，已知，在边上取点，在的外部取点，连接,,，交于点，且 ，， ,则的度数为________．
第2课时 等腰三角形中相等的线段及等边三角形的性质
新课导学
知识点1 等腰三角形中相等的线段
等腰三角形两底角的平分线①、两腰上的中线②、两腰上的高③.
温馨提示:（1）过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
（2）两腰上距顶点等距离的两点与底边端点的连线段相等.
【例1】 如图，在中，，，是的角平分线.
求证：.
对点训练1．[教材第5页例1改编]如图，在中，，，分别是的边,上的中线.
求证：.
知识点2 等边三角形的性质
（1）等边三角形的④相等.
（2）等边三角形的⑤相等，都等于⑥.
（3）各边上的中线、高和所对的角的平分线⑦.
（4）是轴对称图形，有⑧条对称轴.
【例2】 如图，在中，.
求证： .
对点训练2．[2024·高级中学期末]如图，是等边三角形,，分别是边,上的点，若, ,则________．
课堂通关
第一关 过基础
1．如图，在中，，平分，交于点，若，则的度数是（ ）.
A. B. C. D.
2．[2024·翠园中学期中]如图，在中，， ，于点，则等于（ ）.
A. B. C. D.
3．如图，已知是等边三角形,则（ ）.
A. B. C. D.
4．[2024·福田外国语学校期中]用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知其中有一边的长为，那么该等腰三角形的腰长为____．
第二关 过能力
5．下列说法正确的有（ ）.
①有两条边、一个角相等的两个三角形全等；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③全等三角形对应边上的中线相等；④有一个角是 的三角形是等边三角形；⑤长度为，，的三条线段能构成直角三角形.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6．如图，和都是等边三角形，且点，，分别在边，，上，若的周长为12，，求的长度．
第三关 过思维
7．[2023春·龙华区校级期中]在中，．
（1） 如图1，如果 ，是上的高，，则________.
（2） 如图2，如果 ，是上的高，，则________.
（3） 思考：通过以上两题，你发现与之间有什么关系？请用式子表示出来.
（4） 如图3，如果不是上的高，，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
第3课时 等腰三角形的判定及反证法
新课导学
知识点1 等腰三角形的判定定理的应用
判定1：有①相等的三角形是等腰三角形（定义法）.
判定2：如果一个三角形中有②相等，那么这两个角所对的边也相等.（简称“③”）
温馨提示:等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定定理“等角对等边”都是实现三角形边角关系转化的重要依据.
【例1】 （教材第8页例2改编）如图，，请你添加一个条件，可以证明是等腰三角形，你添加的条件是____________________________.
对点训练1．[2024·龙岗区南芳学校期中]如图， ， ，则下列结论错误的是（ ）.
A. B.
C. D.
知识点2 反证法的应用
定义：先假设命题的结论④，然后推导出与⑤、⑥、⑦或⑧相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为⑨.
温馨提示：反证法证明的步骤：（1）假设命题结论不成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由这个矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确.
【例2】 [2024·龙华区期中]用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（ ）
A. 三个内角都锐角 B. 三个内角都是钝角
C. 三个内角都不是锐角 D. 三个内角都不是钝角
对点训练2．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于.
课堂通关
第一关 过基础
1．如图，， ，，则的度数是（ ）.
A. B. C. D.
2．[2024·龙华区期中]在中，若 ， ，，则____．
第二关 过能力
3．如图，在中， ，，，过点作，垂足为，则的长为（ ）.
A. B. C. 1 D. 2
4．如图，在中，， ，， ，则的度数为（ ）.
A. B. C. D.
第三关 过思维
5．[2024·长安实验中考一模改编]如图，在中，，，证明：．
6国如上，,,,平分．
（1） 证明：;
（2） 若,,求的面积.
的学
知识点1 运用等边三角形的性质定理和判定定理解题
判定1：三边①的三角形是等边三角形.（定义法）
判定2：三个角②的三角形是等边三角形.
判定3：有一个角等于③的等腰三角形是等边三角形.
温馨提示:已知或求证了一个三角形是等边三角形，则必然要使用等边三角形的边角性质.在判定一个三角形是等边三角形时，要根据已知或者隐含的边角条件，选择恰当的判定定理.
【例1】 如图，在中，, .
求证：是等边三角形.
对点训练1．[2023·龙岗区期末]由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆（为衣架的固定点）,如图2，若衣架收拢时, ，则此时，两点之间的距离是（ ）.
A. B. C. D.
知识点2 直角三角形的性质定理
性质定理：在直角三角形中，如果④，那么⑤.
温馨提示：这个定理的前提是在直角三角形中，经常和直角三角形的两个锐角互余结合在一起使用，是直角三角形中求边长的重要手段.
【例2】 [2024·廊坊市期末]如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在处测得 ，再往前行进到达处，测得 ，点，，在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为（ ）.
A. B. C. D.
对点训练2．如图，在中， ， ，，则（ ）.
A. 4 B. C. D.
课堂通关
第一关 过基础
1．下列三角形：①有两个角等于 的三角形；②有一个角等于 的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）.
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③ D. ②③④
2．如图，在等腰中，， ，于点，则________.
3．如图，在中，， ，交于点，，则________．
4．如图,，，，求证：为等边三角形.
第二关 过能力
5．如图，已知，是线段上任意一点，在的同侧分别以和为边作两个等边和，则线段的长度的最小值是（ ）.
A. 4 B. 5 C. 6 D.
6．[2023·深圳中学校联考二模]如图，在中，点在边上，，，交的延长线于点，若，，则________.
第三关 过思维
7．[2024·高级中学月考]在如图所示的三角形纸片中，，将纸片沿过点的直线折叠，折痕为,再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，若，的周长为13，则的长为________.
