3 线段的垂直平分线
第1课时 垂直平分线的性质定理与判定定理
新课导学
知识点1 线段垂直平分线的性质定理
性质定理：线段①垂直平分线上的点到这条线段②两个端点的距离相等.
温馨提示：（1）此定理是证明两条线段相等的重要工具；（2）此定理也经常用来进行线段的等量代换，与几何图形的周长问题联系紧密;（3）连接垂直平分线上的点与线段的端点，是重要的作辅助线的思路.
【例1】 填空：
（1） 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离____.
（2） 几何语言：如图，
是的垂直平分线，
________，
________.
【答案】（1） 相等
（2） ；
对点训练1．若是线段的垂直平分线上一点，且，则____.
【答案】6
知识点2 线段垂直平分线的判定定理
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在③这条线段的垂直平分线上.
温馨提示：此定理可以证明点在线段的垂直平分线上，是一个容易被忽视的一个重要结论.
【例2】 填空：
（1） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上；
（2） 几何语言：
如图， ____________，直线是线段的垂直平分线，
点在直线上.
【答案】（1） 垂直平分线
（2）
对点训练2．如图，，.求证：垂直平分.
提示：先证明，得出，,所以 垂直平分（线段垂直平分线的判定定理）.
课堂通关
第一关 过基础
1．如图，在中，直线是线段的垂直平分线,下列叙述错误的是（ ）.
A. B.
C. ， D.
【答案】D
2．[2023·龙华区期末]某同学做了一个如图所示的风筝，其中，,则下列结论不一定正确的是（ ）.
A. B.
C. 垂直平分 D. 点与点关于直线对称
【答案】C
3．在中， ，的垂直平分线交于点，若，则____.
【答案】2
4．[2024·福田外国语学校期中]如图，在中， ，，，斜边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接,则的长为________．
【答案】
第二关 过能力
5．[2024·冠华育才学校月考]如图，在中，,的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为，，已知的周长为22，求的长.
解：因为,的垂直平分线分别交 于点，,所以，,所以，即为 的周长.又因为 的周长为22，所以．
6．[2024·冠华育才学校月考]如图,在中，边，的垂直平分线交于点，连接，，若 ，求的度数.
解：如图，连接，延长 交 于点， 点 是，的垂直平分线的交点，，，， .
第三关 过思维
7．[2024·麒麟中学期中]如图，与相交于点，，，．
求证：
（1） ；
（2） 垂直平分．
【答案】
（1） 证明：在 与 中，
，．
（2） ， 点 在线段 的垂直平分线上.
， 点 在线段 的垂直平分线上，垂直平分．
第2课时 三角形三边的垂直平分线及用尺规作已知直线的垂线
新课导学
知识点1 三角形三边垂直平分线的性质
性质：三角形三条边的垂直平分线相交于①一点，并且②这一点到三个顶点的距离相等.
温馨提示：三角形三边垂直平分线交于一点，锐角三角形在三角形内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在三角形外部.
【例1】 如图，在中，边，的垂直平分线相交于点，则________ ________,点__边的垂直平分线上（填“在”或“不在”）.
【答案】； ； 在
对点训练1．[2024·宝安实验学校期末]如图，三座商场分别坐落在,,所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，则该地铁站应建在（ ）.
A. 三角形三条中线的交点
B. 三角形三条高所在直线的交点
C. 三角形三个内角的角平分线的交点
D. 三角形三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
知识点2 与垂直平分线有关的作图
（1）尺规作线段；（2）尺规作线段的垂直平分线；（3）尺规作三角形.
温馨提示：作线段的垂直平分线，隐含了作垂直和作中点两重功能.要根据题意，直接或判断作相应线段的垂直平分线.
【例2】 如图，已知线段，请你用尺规作出线段的垂直平分线.
提示：分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 两侧分别交于,两点，连接 即可.
对点训练2．已知：如图，线段，，求作：，使，且，高.
解：作法：①作线段;②作线段 的垂直平分线,交 于点;③在 上作线段,使;④连接,,为所求作的三角形.
课堂通关
第一关 过基础
1．下列各图形中，是轴对称图形的有（ ）个.
①等腰三角形；②等边三角形；③线段；④角；⑤两个全等三角形.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
2．[2024·福田外国语学校期中]如图，在已知的中，按以下步骤尺规作图：①分别以,为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点,；②作直线交于点，连接．若， ，则的度数为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
3．[2024·罗湖外国语期中]如图，在中，，，的垂直平分线交于点，那么的周长为（ ）.
A. 11 B. 13 C. 18 D. 21
【答案】B
4．[2024·深圳实验学校期中]如图，在中，，且,垂直平分，交于点，交于点.若的周长为16，，则的长为（ ）.
A. 5 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】A
第二关 过能力
5．如图，村庄，分别在笔直公路的两侧.一辆汽车在公路上行驶，汽车在什么位置时到，两村庄的距离相等？请找出这个点，并说明理由.
提示：连接，作线段 的垂直平分线，其与直线 的交点即为所找的位置.
6．[2023·宝安区期末]如图，在中，点为的中点，连接，过点作于点.
（1） 尺规作图：在射线上作点，使得（不写作法，只保留作图痕迹）；
（2） 证明：.
【答案】
（1） 解：如图，点 即为所作.
（2） 证明：，，， 点 为 的中点，.在 和 中，.
第三关 过思维
7．[2023·惠华学校期中]如图，在中， ，，点是的中点．
（1） 尺规作图：过点作交直线于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2） 若，求的长．
【答案】
（1） 解：如图，即为所作.
（2） ，点 是 的中点，
，, ．
， , ．
， ．
．
又，．3 线段的垂直平分线
第1课时 垂直平分线的性质定理与判定定理
新课导学
知识点1 线段垂直平分线的性质定理
性质定理：线段① 的点到这条线段② 的距离相等.
温馨提示：（1）此定理是证明两条线段相等的重要工具；（2）此定理也经常用来进行线段的等量代换，与几何图形的周长问题联系紧密;（3）连接垂直平分线上的点与线段的端点，是重要的作辅助线的思路.
【例1】 填空：
（1） 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离____.
（2） 几何语言：如图，
是的垂直平分线，
________，
________.
对点训练1．若是线段的垂直平分线上一点，且，则____.
知识点2 线段垂直平分线的判定定理
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在③ .
温馨提示：此定理可以证明点在线段的垂直平分线上，是一个容易被忽视的一个重要结论.
【例2】 填空：
（1） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上；
（2） 几何语言：
如图， ____________，直线是线段的垂直平分线，
点在直线上.
对点训练2．如图，，.求证：垂直平分.
课堂通关
第一关 过基础
1．如图，在中，直线是线段的垂直平分线,下列叙述错误的是（ ）.
A. B.
C. ， D.
2．[2023·龙华区期末]某同学做了一个如图所示的风筝，其中，,则下列结论不一定正确的是（ ）.
A. B.
C. 垂直平分 D. 点与点关于直线对称
3．在中， ，的垂直平分线交于点，若，则____.
4．[2024·福田外国语学校期中]如图，在中， ，，，斜边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接,则的长为________．
第二关 过能力
5．[2024·冠华育才学校月考]如图，在中，,的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为，，已知的周长为22，求的长.
6．[2024·冠华育才学校月考]如图,在中，边，的垂直平分线交于点，连接，，若 ，求的度数.
第三关 过思维
7．[2024·麒麟中学期中]如图，与相交于点，，，．
求证：
（1） ；
（2） 垂直平分．
三 的垂线
新课导学
知识点1 三角形三边垂直平分线的性质
性质：三角形三条边的垂直平分线相交于① ，并且② 相等.
温馨提示：三角形三边垂直平分线交于一点，锐角三角形在三角形内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在三角形外部.
【例1】 如图，在中，边，的垂直平分线相交于点，则________ ________,点__边的垂直平分线上（填“在”或“不在”）.
对点训练1．[2024·宝安实验学校期末]如图，三座商场分别坐落在,,所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，则该地铁站应建在（ ）.
A. 三角形三条中线的交点
B. 三角形三条高所在直线的交点
C. 三角形三个内角的角平分线的交点
D. 三角形三条边的垂直平分线的交点
知识点2 与垂直平分线有关的作图
（1）尺规作线段；（2）尺规作线段的垂直平分线；（3）尺规作三角形.
温馨提示：作线段的垂直平分线，隐含了作垂直和作中点两重功能.要根据题意，直接或判断作相应线段的垂直平分线.
【例2】 如图，已知线段，请你用尺规作出线段的垂直平分线.
对点训练2．已知：如图，线段，，求作：，使，且，高.
课堂通关
第一关 过基础
1．下列各图形中，是轴对称图形的有（ ）个.
①等腰三角形；②等边三角形；③线段；④角；⑤两个全等三角形.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2．[2024·福田外国语学校期中]如图，在已知的中，按以下步骤尺规作图：①分别以,为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点,；②作直线交于点，连接．若， ，则的度数为（ ）.
A. B. C. D.
3．[2024·罗湖外国语期中]如图，在中，，，的垂直平分线交于点，那么的周长为（ ）.
A. 11 B. 13 C. 18 D. 21
4．[2024·深圳实验学校期中]如图，在中，，且,垂直平分，交于点，交于点.若的周长为16，，则的长为（ ）.
A. 5 B. 8 C. 9 D. 10
第二关 过能力
5．如图，村庄，分别在笔直公路的两侧.一辆汽车在公路上行驶，汽车在什么位置时到，两村庄的距离相等？请找出这个点，并说明理由.
6．[2023·宝安区期末]如图，在中，点为的中点，连接，过点作于点.
（1） 尺规作图：在射线上作点，使得（不写作法，只保留作图痕迹）；
（2） 证明：.
第三关 过思维
7．[2023·惠华学校期中]如图，在中， ，，点是的中点．
（1） 尺规作图：过点作交直线于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2） 若，求的长．
