4 角平分线
第1课时 角平分线的性质定理与判定定理
新课导学
知识点1 角平分线的性质定理
性质定理：角平分线上的点到①这个角的两边的距离相等.
温馨提示：（1）此定理是证明两条线段相等的重要工具；（2）此定理也经常用来进行线段的等量代换，与几何图形的面积问题联系紧密;（3）过角平分线上的点向角的两边作垂线，是重要的作辅助线的思路.
【例1】 如图，是的平分线,于点，于点.
求证：.
提示：证明.
对点训练1．[2024·深圳市改编]如图，平分，于点，点是射线上一点，点是射线上的一个动点．若，则的长度不可能是（ ）.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
知识点2 角平分线的判定定理
判定定理:在一个角的内部，②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
温馨提示：此定理可以证明点在角的平分线上，进而判定角平分线，并运用角平分线的性质解决问题.
【例2】 如图，点是内一点,于点，于点，且.求证：平分.
提示：证明.
对点训练2．如图，在中， ，点在上，，，，垂足分别为，，且，求的长.
解：,,且,是 的平分线. , .又 ,,.
知识点3 角平分线的画法
温馨提示：作图的实质是构造边边边对应相等的两个全等三角形.
【例3】 [2024·深圳市改编]在如图所示的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）.
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有①
【答案】B
对点训练3．现要在三角形地内建一中心医院，使医院到,两个居民小区的距离相等，并且到公路和的距离也相等，请确定这个中心医院的位置（尺规作图，保留作图痕迹）
解：如图，点 即为所求．
课堂通关
第一关 过基础
1．[2024·沙湾中学月考]如图，是的平分线，于点，，则点到的距离是（ ）.
A. 1 B. 2.5 C. 4 D. 5
【答案】D
2．如图，，分别是的内角平分线和外角平分线，那么__ .
【答案】90
3．[2024·南山区期末]如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作的平分线的图示，对于三人不同的作法，其中正确的个数是（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
4．[2024·福田外国语学校期中]如图，在中， ，的平分线交于点，于点，若与的周长分别为13和3，则的长为（ ）.
A. 10 B. 16 C. 8 D. 5
【答案】D
5．如图，在中，是边的高线，平分，，，则的面积是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
6．如图，在四边形中，平分，，，若 ，则的度数是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
第二关 过能力
7．[2024·光明实验学校月考]如图，已知的周长是10，,分别平分和，若的面积为20，则的长为____．
【答案】4
8．（选自教材第30页习题1.9第2题）已知：如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别是，.求证：.
提示：可以先证明.
第三关 过思维
9．（选自教材第30页习题1.9第4题）如图，在内部求作一点，使，并且点到两边的距离相等.
提示：先作线段 的垂直平分线，再作 的平分线，两线交点即为所求.
第2课时 三角形三个内角的平分线
新课导学
知识点1 角平分线的性质定理
性质定理：三角形的三条角平分线相交于①一点，并且这一点到②三条边的距离相等.
温馨提示：（1）定理描述了三条角平分线的交点到三条边的距离相等，常与线段、距离、面积问题相联系；（2）任意第三条角平分线必过其他两条角平分线的交点；（3）三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部.
【例1】 [2024·龙华区期中]如图，在直角三角形中， ，平分，交于点，若,，则的面积为____.
【答案】8
对点训练1．[2024·百合外国语学校期中]如图所示，在中， ，平分，交于点，，，，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
知识点2 角平分线的性质定理和判定定理的综合应用
角平分线上的点到③这个角的两边的距离相等；在一个角的④内部，到角的⑤两边距离相等的点在这个角的平分线上.
温馨提示：在已知角平分线或平分角的情况下，使用角平分线的定义或者性质定理；在已知到角两边距离相等的情况下，使用判定定理，有时两个定理要混合运用.
【例2】 如图， ， ，是的角平分线.
求证：.
证明：因为 ， ，所以 .又因为 是 的角平分线,所以，所以（等角对等边），（在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半），所以.
对点训练2．[2024·深圳中学期末]如图，是的角平分线，,分别是和的高.
求证：
（1） ;
（2） 垂直平分.
【答案】
（1） 证明：是 的角平分线，，，
，.
（2） 在 和 中，
，.
又，垂直平分．
课堂通关
第一关 过基础
1．到三角形三边距离相等的点是（ ）.
A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三条垂直平分线的交点
【答案】C
2．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直.若，则点到的距离是（ ）.
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】C
3．[2023·宝安实验学校期末]如图，在中，两条角平分线相交于点，过点作于点.若，的周长为12，则的面积为____．
【答案】6
4．如图，三条公路把，，三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）.
A. 三条边的垂直平分线的交点处 B. 三个角的平分线的交点处
C. 三角形三条高的交点处 D. 三角形三条中线的交点处
【答案】B
第二关 过能力
5．[2023·坪山区期末]小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图,一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点．小明说：“射线就是的平分线”．他这样做的依据是（ ）.
A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形的三条角平分线交于一点
D. 三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
第三关 过思维
6．[2024·红岭实验学校月考]如图，在中，为边的垂直平分线，与的平分线交于点，过点作交的延长线于点，作，交于点．
（1） 求证：;
（2） 若,,求的长.
【答案】
（1） 证明：如图，连接，，平分，，，， .为 边的垂直平分线，.在 和 中，，.
（2） 解：由（1）得，， ，同理,，，，，．4 角平分线
第1课时 角平分线的性质定理与判定定理
新课导学
知识点1 角平分线的性质定理
性质定理：角平分线上的点到①.
温馨提示：（1）此定理是证明两条线段相等的重要工具；（2）此定理也经常用来进行线段的等量代换，与几何图形的面积问题联系紧密;（3）过角平分线上的点向角的两边作垂线，是重要的作辅助线的思路.
【例1】 如图，是的平分线,于点，于点.
求证：.
对点训练1．[2024·深圳市改编]如图，平分，于点，点是射线上一点，点是射线上的一个动点．若，则的长度不可能是（ ）.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
知识点2 角平分线的判定定理
判定定理:在一个角的内部，②点在这个角的平分线上.
温馨提示：此定理可以证明点在角的平分线上，进而判定角平分线，并运用角平分线的性质解决问题.
【例2】 如图，点是内一点,于点，于点，且.求证：平分.
对点训练2．如图，在中， ，点在上，，，，垂足分别为，，且，求的长.
知识点3 角平分线的画法
温馨提示：作图的实质是构造边边边对应相等的两个全等三角形.
【例3】 [2024·深圳市改编]在如图所示的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）.
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有①
对点训练3．现要在三角形地内建一中心医院，使医院到,两个居民小区的距离相等，并且到公路和的距离也相等，请确定这个中心医院的位置（尺规作图，保留作图痕迹）
课堂通关
第一关 过基础
1．[2024·沙湾中学月考]如图，是的平分线，于点，，则点到的距离是（ ）.
A. 1 B. 2.5 C. 4 D. 5
2．如图，，分别是的内角平分线和外角平分线，那么__ .
3．[2024·南山区期末]如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作的平分线的图示，对于三人不同的作法，其中正确的个数是（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4．[2024·福田外国语学校期中]如图，在中， ，的平分线交于点，于点，若与的周长分别为13和3，则的长为（ ）.
A. 10 B. 16 C. 8 D. 5
5．如图，在中，是边的高线，平分，，，则的面积是（ ）.
A. B. C. D.
6．如图，在四边形中，平分，，，若 ，则的度数是（ ）.
A. B. C. D.
第二关 过能力
7．[2024·光明实验学校月考]如图，已知的周长是10，,分别平分和，若的面积为20，则的长为____．
8．（选自教材第30页习题1.9第2题）已知：如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别是，.求证：.
第三关 过思维
9．（选自教材第30页习题1.9第4题）如图，在内部求作一点，使，并且点到两边的距离相等.
第2课时 三角形三个内角的平分线
新课导学
知识点1 角平分线的性质定理
性质定理：三角形的三条角平分线相交于①，并且这一点到②的距离相等.
温馨提示：（1）定理描述了三条角平分线的交点到三条边的距离相等，常与线段、距离、面积问题相联系；（2）任意第三条角平分线必过其他两条角平分线的交点；（3）三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部.
【例1】 [2024·龙华区期中]如图，在直角三角形中， ，平分，交于点，若,，则的面积为____.
对点训练1．[2024·百合外国语学校期中]如图所示，在中， ，平分，交于点，，，，则（ ）.
A. B. C. D.
知识点2 角平分线的性质定理和判定定理的综合应用
角平分线上的点到③的距离相等；在一个角的④，到角的⑤的点在这个角的平分线上.
温馨提示：在已知角平分线或平分角的情况下，使用角平分线的定义或者性质定理；在已知到角两边距离相等的情况下，使用判定定理，有时两个定理要混合运用.
【例2】 如图， ， ，是的角平分线.
求证：.
对点训练2．[2024·深圳中学期末]如图，是的角平分线，,分别是和的高.
求证：
（1） ;
（2） 垂直平分.
过边距离相等的点是（ ）.
A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三条垂直平分线的交点
2．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直.若，则点到的距离是（ ）.
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
3．[2023·宝安实验学校期末]如图，在中，两条角平分线相交于点，过点作于点.若，的周长为12，则的面积为____．
4．如图，三条公路把，，三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）.
A. 三条边的垂直平分线的交点处 B. 三个角的平分线的交点处
C. 三角形三条高的交点处 D. 三角形三条中线的交点处
第二关 过能力
5．[2023·坪山区期末]小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图,一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点．小明说：“射线就是的平分线”．他这样做的依据是（ ）.
A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形的三条角平分线交于一点
D. 三角形三边的垂直平分线交于一点
第三关 过思维
6．[2024·红岭实验学校月考]如图，在中，为边的垂直平分线，与的平分线交于点，过点作交的延长线于点，作，交于点．
（1） 求证：;
（2） 若,,求的长.
