5 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系
新课导学
知识点1 利用图象法解一元一次不等式
温馨提示:（1）一次函数值等于 时，解一元一次方程;一次函数值不等于 时，解一元一次不等式.
（2）一次函数 的图象在 轴上方的部分，表示，即；一次函数 的图象与 轴交点，表示，即；一次函数 的图象在 轴下方的部分，表示，即.
（3）一次函数 的图象在 图象上方的部分，表示，即；一次函数 的图象与 图象的交点为，表示，即；一次函数 的图象在 图象下方的部分，表示 ，即.
【例1】 [2024·光明区期末]如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于,和，则关于的不等式的解集是____________．
【答案】
对点训练1．[2024·福田外国语学校期中]如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
知识点2 利用代数法解一元一次不等式
温馨提示：结合数量关系和一次函数的性质，解一元一次不等式.
【例2】 已知函数和，当时，的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
对点训练2．[2024·冠华育才学校月考]一次函数的图象与轴交于点，则不等式的解集为__________.
【答案】
知识点3 一元一次不等式与一次函数的应用
【例3】 [2022·佛山顺德区校级期中]某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球.若购买1个篮球和2个足球共需200元，购买2个篮球和3个足球共需340元.
（1） 篮球、足球的单价各是多少元
（2） 根据学校的实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个.要求购买篮球和足球的总费用不超过6 450元，则该校最多可以购买多少个篮球？
【答案】
（1） 解：设足球的单价是 元，则篮球的单价是 元，依题意,得，解得 篮球的单价为（元）.
答：篮球的单价是80元，足球的单价是60元.
（2） 设该校可以购买 个篮球，则可以购买 个足球，依题意,得，解得.
又 为正整数，的最大值为22.
答：该校最多可以购买22个篮球.
对点训练3．[2022·佛山顺德区校级月考]甲、乙两辆摩托车分别从，两地出发相向而行，图中，分别表示两辆摩托车与地的距离与行驶时间之间的函数关系.
（1） 哪辆摩托车的速度较快？
（2） 何时甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离？
【答案】
（1） 解：由题意，得甲摩托车的速度为，乙摩托车的速度为.
， 乙摩托车的速度较快.
（2） 设 时甲摩托车离 地的距离大于乙摩托车离 地的距离.由题意，得，解得.
答：当 时，甲摩托车离 地的距离大于乙摩托车离 地的距离.
课堂通关
第一关 过基础
1．[2024·南山实验教育集团期中]已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
2．[2024·罗湖外国语学校期中]如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
3．（好题推荐）已知点和点都在直线的图象上，则与的大小关系为（ ）.
A. B. C. D. 无法判断
【答案】A
4．[2023·深圳罗湖区校级期中]若，两点都在直线上，且，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
第二关 过能力
5．（好题推荐）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则不等式的解集为__________.
【答案】
6．[2024·深圳实验学校期中]如图，已知一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象经过点，则关于的不等式组的解集为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
第三关 过思维
7．如图，直线与直线相交于点，与轴交于点.
（1） 求点的坐标；
（2） 根据图象写出不等式组的解集.
【答案】（1） 解： 直线 与直线 相交于点，与 轴交于点,,解得,.当 时，, 点 的坐标为.
（2） 由图象可知，的解集是.
第2课时 一元一次不等式与一次函数的综合应用
新课导学
知识点1 最优方案问题
温馨提示:先建立各种方案的函数关系式，然后根据要求建立各自函数关系式的不等式，分别讨论自变量的取值范围，做出不同的判断和选择.
【例1】 （好题推荐）某种产品原价为100元，现因原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，有以下两种方案.
方案一：第一次提价，第二次提价；
方案二：第一次、第二次提价均为.
请问：哪种方案提价多？回答：（ ）.
A. 方案一 B. 方案二
C. 两种方案一样 D. 不能确定
【答案】B
对点训练1．某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案.
方案一：第一次提价，第二次提价；
方案二：第一次提价，第二次提价；
方案三：第一次、第二次提价均为.
三种方案哪种提价最多（ ）.
A. 方案一 B. 方案二 C. 方案三 D. 不能确定
【答案】C
知识点2 利润问题
温馨提示：先列出关于自变量的方程（组），再求出函数表达式，根据自变量的取值范围和函数的性质求出最大值或者最小值.
【例2】 如图，反映了某公司产品的销售收入（元）与销售量（吨）之间的关系，反映了该公司产品的销售成本（元）与销售量（吨）之间的关系，根据图象填空：
（1） 当销售量等于______吨时，利润为零（收入等于成本）；
当销售量______吨时，该公司盈利（收入大于成本）；
当销售量______吨时，该公司亏损（收入小于成本）.
（2） 对应的函数表达式是____________________.
（3） 求利润（元）（销售收入-销售成本）与销售量（吨）之间的函数表达式.
【答案】（1） 4；大于4；小于4
（2）
（3） 解：设 对应的函数表达式为，
过点，.
又 过点，，解得，.
,
即.
对点训练2．如图，表示某摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量之间的关系；表示摩托车厂一天的销售成本与销售量之间的关系.（利润销售收入-销售成本）
（1） 当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本
（2） 当一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利
（3） 求对应的函数表达式.
（4） 你能求出利润与销售量之间的函数表达式吗？
【答案】（1） 解：当一天的销售量为4辆时，销售收入等于销售成本.
（2） 当一天的销售量超过4辆时，工厂才能获利.
（3） 设 对应的函数表达式为，将 代入，得，，.
（4） 设直线 对应的函数表达式为,则 解得.
.
与 之间的函数表达式为.
课堂通关
第一关 过基础
1．[2023·育才集团期中]某次数学竞赛共有16道题，评分办法是：每答对一道题得6分，每答错一道题扣2分，不答的题不扣分也不得分．已知某同学参加了这次竞赛，成绩超过了60分，且只有一道题未作答．设该同学答对了道题，根据题意，下面列出的不等式正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
2．[2024·德琳学校期中]如图，周日下午八年级某班小明想到站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为．假设公交车的速度是小明速度的5倍，要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到站之间的距离最大为____.
【答案】120
第二关 过能力
3．[2023· 宝安中学二模]学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17 000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1 000元．
（1） 甲、乙两种办公桌每张各多少元
（2） 若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，求总费用最低时的购买方案.
【答案】
（1） 解：设甲种办公桌每张 元，乙种办公桌每张 元，
由题意可得 解得
答：甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元.
（2） 设购买甲种办公桌 张，由题意可得，解得.
甲种办公桌的单价低， 甲种办公桌购买越多费用越低，
当 时，（张），此时总费用最低．
答：购买甲种办公桌30张，购买乙种办公桌10张时，总费用最低．
4．某公司计划组织员工到某地旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人2 000元.经过协商：甲旅行社表示可给予每位游客七五折（按报价）优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折（按报价）优惠.设该公司参加旅游的人数是，选择甲旅行社所需费用为元，选择乙旅行社所需费用为元.请解答下列问题：
（1） 请分别写出，与之间的函数关系式.
（2） 在甲、乙两家旅行社中，你认为选择哪家旅行社更划算？
【答案】（1） 解：由题意，得，.
（2） ①当 时，，解得;
②当 时，，解得;
③当 时，，解得.
即当 时，选乙旅行社划算;当 时，两家旅行社费用相同;当 时，选甲旅行社划算.5 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系
新课导学
知识点1 利用图象法解一元一次不等式
温馨提示:（1）一次函数值等于 时，解一元一次方程;一次函数值不等于 时，解一元一次不等式.
（2）一次函数 的图象在 轴上方的部分，表示，即；一次函数 的图象与 轴交点，表示，即；一次函数 的图象在 轴下方的部分，表示，即.
（3）一次函数 的图象在 图象上方的部分，表示，即；一次函数 的图象与 图象的交点为，表示，即；一次函数 的图象在 图象下方的部分，表示 ，即.
【例1】 [2024·光明区期末]如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于,和，则关于的不等式的解集是____________．
对点训练1．[2024·福田外国语学校期中]如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（ ）.
A. B. C. D.
知识点2 利用代数法解一元一次不等式
温馨提示：结合数量关系和一次函数的性质，解一元一次不等式.
【例2】 已知函数和，当时，的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
对点训练2．[2024·冠华育才学校月考]一次函数的图象与轴交于点，则不等式的解集为__________.
知识点3 一元一次不等式与一次函数的应用
【例3】 [2022·佛山顺德区校级期中]某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球.若购买1个篮球和2个足球共需200元，购买2个篮球和3个足球共需340元.
（1） 篮球、足球的单价各是多少元
（2） 根据学校的实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个.要求购买篮球和足球的总费用不超过6 450元，则该校最多可以购买多少个篮球？
对点训练3．[2022·佛山顺德区校级月考]甲、乙两辆摩托车分别从，两地出发相向而行，图中，分别表示两辆摩托车与地的距离与行驶时间之间的函数关系.
（1） 哪辆摩托车的速度较快？
（2） 何时甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离？
课堂通关
第一关 过基础
1．[2024·南山实验教育集团期中]已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）.
A. B. C. D.
2．[2024·罗湖外国语学校期中]如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（ ）.
A. B. C. D.
3．（好题推荐）已知点和点都在直线的图象上，则与的大小关系为（ ）.
A. B. C. D. 无法判断
4．[2023·深圳罗湖区校级期中]若，两点都在直线上，且，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
第二关 过能力
5．（好题推荐）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则不等式的解集为__________.
6．[2024·深圳实验学校期中]如图，已知一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象经过点，则关于的不等式组的解集为（ ）.
A. B.
C. D.
第三关 过思维
7．如图，直线与直线相交于点，与轴交于点.
（1） 求点的坐标；
（2） 根据图象写出不等式组的解集.
第2课时 一元一次不等式与一次函数的综合应用
新课导学
知识点1 最优方案问题
温馨提示:先建立各种方案的函数关系式，然后根据要求建立各自函数关系式的不等式，分别讨论自变量的取值范围，做出不同的判断和选择.
【例1】 （好题推荐）某种产品原价为100元，现因原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，有以下两种方案.
方案一：第一次提价，第二次提价；
方案二：第一次、第二次提价均为.
请问：哪种方案提价多？回答：（ ）.
A. 方案一 B. 方案二
C. 两种方案一样 D. 不能确定
对点训练1．某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案.
方案一：第一次提价，第二次提价；
方案二：第一次提价，第二次提价；
方案三：第一次、第二次提价均为.
三种方案哪种提价最多（ ）.
A. 方案一 B. 方案二 C. 方案三 D. 不能确定
知识点2 利润问题
温馨提示：先列出关于自变量的方程（组），再求出函数表达式，根据自变量的取值范围和函数的性质求出最大值或者最小值.
【例2】 如图，反映了某公司产品的销售收入（元）与销售量（吨）之间的关系，反映了该公司产品的销售成本（元）与销售量（吨）之间的关系，根据图象填空：
（1） 当销售量等于______吨时，利润为零（收入等于成本）；
当销售量______吨时，该公司盈利（收入大于成本）；
当销售量______吨时，该公司亏损（收入小于成本）.
（2） 对应的函数表达式是____________________.
（3） 求利润（元）（销售收入-销售成本）与销售量（吨）之间的函数表达式.
对点训练2．如图，表示某摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量之间的关系；表示摩托车厂一天的销售成本与销售量之间的关系.（利润销售收入-销售成本）
（1） 当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本
（2） 当一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利
（3） 求对应的函数表达式.
（4） 你能求出利润与销售量之间的函数表达式吗？
础
1．[2023·育才集团期中]某次数学竞赛共有16道题，评分办法是：每答对一道题得6分，每答错一道题扣2分，不答的题不扣分也不得分．已知某同学参加了这次竞赛，成绩超过了60分，且只有一道题未作答．设该同学答对了道题，根据题意，下面列出的不等式正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
2．[2024·德琳学校期中]如图，周日下午八年级某班小明想到站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为．假设公交车的速度是小明速度的5倍，要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到站之间的距离最大为____.
第二关 过能力
3．[2023· 宝安中学二模]学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17 000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1 000元．
（1） 甲、乙两种办公桌每张各多少元
（2） 若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，求总费用最低时的购买方案.
旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人2 000元.经过协商：甲旅行社表示可给予每位游客七五折（按报价）优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折（按报价）优惠.设该公司参加旅游的人数是，选择甲旅行社所需费用为元，选择乙旅行社所需费用为元.请解答下列问题：
（1） 请分别写出，与之间的函数关系式.
（2） 在甲、乙两家旅行社中，你认为选择哪家旅行社更划算？
