3 公式法
第1课时 用平方差公式进行因式分解
新课导学
知识点1 用平方差公式因式分解
公式法：根据因式分解与① 的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
平方差公式： .
【例1】 因式分解:
（1） ;
（2） ;
（3） .
对点训练1．因式分解:
（1） ;
（2） ;
（3） .
【例2】 因式分解:
（1） ;
（2） .
对点训练2．因式分解:
（1） ;
（2） .
知识点2 用平方差公式因式分解的应用
【例3】 [2024·福田区中考适应性试卷]对于任何整数，多项式都能被整数____整除．
对点训练3．[2024·龙华万安学校月考]对于任意整数，试说明多项式的值都能被20整除.
课堂通关
第一关 过基础
1．[2024·龙岗华附集团期中]下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是（ ）.
A. B. C. D.
2．下列因式分解正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
3．因式分解:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
4．[2024·红岭石厦中考二模]已知，则的值为____________.
第二关 过能力
5．因式分解：
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
6．[2024·高州市月考]已知，，是的三条边长，且满足，请判断的形状，并说明理由．
第三关 过思维
7．[2024·顺德一中外国语学校月考]如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
图1 图2
（1） 请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？
（2） 试利用这个公式计算：．
（3） 若图1中阴影部分的面积是12，，求的值．
第2课时 用完全平方公式进行因式分解
新课导学
知识点1 用完全平方公式因式分解
公式法：根据① 与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
完全平方公式： .
【例1】 下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）.
A. B. C. D.
对点训练1．[2024·岳阳期中]下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）.
A. B.
C. D.
知识点2 因式分解的一般步骤及其应用
因式分解的一般步骤:
（1）若有“-”，先提取“-”，若多项式各项有公因式,则需③ ;
（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式的特点,选用④ 或⑤ ;
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
【例2】 因式分解:
（1） ;
（2） ;
（3） .
对点训练2．因式分解:
（1） ;
（2） ;
（3） .
【例3】 [2024· 南山实验麒麟中学开学]若，，则代数式的值为________．
对点训练3．[2023春·佛山市华英学校校考期中]若，则的值是____.
知识点3 完全平方式
形如⑥ 的式子称为完全平方式.
注意：完全平方式的特点：（1）必须是⑦ ；（2）平方项的符号⑧ ;（3）中间是两平方项底数之积的⑨ .
【例4】 （教材第105页第13题改编）已知9可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（ ）.
A. 6 B. C. 12 D.
对点训练4．[2024·宝安区海韵学校月考]已知多项式可以按完全平方公式进行因式分解，则____________．
课堂通关
第一关 过基础
1．因式分解:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
2．[2024·佛冈县期中]先因式分解，再计算求值．
，其中，．
第二关 过能力
3．因式分解:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
4．[2024·龙岗华附期中]利用因式分解简便计算:．
第三关 过思维
5．[2024·南山实验期中]阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式,然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1） 因式分解：；
（2） 已知，，求的值；
（3） 的三边，，满足，试判断的形状并说明理由．3 公式法
第1课时 用平方差公式进行因式分解
新课导学
知识点1 用平方差公式因式分解
公式法：根据因式分解与①整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
平方差公式： .
【例1】 因式分解:
（1） ;
（2） ;
（3） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
（3） 原式.
对点训练1．因式分解:
（1） ;
（2） ;
（3） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
（3） 原式.
【例2】 因式分解:
（1） ;
（2） .
【答案】（1） 解：原式．
（2） 原式 .
对点训练2．因式分解:
（1） ;
（2） .
【答案】
（1） 解：原式
.
（2） 原式.
知识点2 用平方差公式因式分解的应用
【例3】 [2024·福田区中考适应性试卷]对于任何整数，多项式都能被整数____整除．
【答案】4或2
对点训练3．[2024·龙华万安学校月考]对于任意整数，试说明多项式的值都能被20整除.
解：原式,
原式的值都能被20整除.
课堂通关
第一关 过基础
1．[2024·龙岗华附集团期中]下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
2．下列因式分解正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
3．因式分解:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
（3） 原式.
（4） 原式.
4．[2024·红岭石厦中考二模]已知，则的值为____________.
【答案】
第二关 过能力
5．因式分解：
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
（3） 原式.
（4） 原式.
6．[2024·高州市月考]已知，，是的三条边长，且满足，请判断的形状，并说明理由．
解：为等腰三角形，理由如下:变形为，即，，即，是等腰三角形．
第三关 过思维
7．[2024·顺德一中外国语学校月考]如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
图1 图2
（1） 请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？
（2） 试利用这个公式计算：．
（3） 若图1中阴影部分的面积是12，，求的值．
【答案】（1） 解：图1中阴影部分的面积是，图2中阴影部分的面积是，，可以验证平方差公式.
（2） 原式.
（3） 依题意可得,即,,.联立方程组可解得,,.
第2课时 用完全平方公式进行因式分解
新课导学
知识点1 用完全平方公式因式分解
公式法：根据①因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
完全平方公式： .
【例1】 下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
对点训练1．[2024·岳阳期中]下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
知识点2 因式分解的一般步骤及其应用
因式分解的一般步骤:
（1）若有“-”，先提取“-”，若多项式各项有公因式,则需③提取公因式;
（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式的特点,选用④平方差公式或⑤完全平方公式;
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
【例2】 因式分解:
（1） ;
（2） ;
（3） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式．
（3） 原式.
对点训练2．因式分解:
（1） ;
（2） ;
（3） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式．
（3） 原式.
【例3】 [2024· 南山实验麒麟中学开学]若，，则代数式的值为________．
【答案】
对点训练3．[2023春·佛山市华英学校校考期中]若，则的值是____.
【答案】3
知识点3 完全平方式
形如⑥ 的式子称为完全平方式.
注意：完全平方式的特点：（1）必须是⑦三项式；（2）平方项的符号⑧相同;（3）中间是两平方项底数之积的⑨倍.
【例4】 （教材第105页第13题改编）已知9可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（ ）.
A. 6 B. C. 12 D.
【答案】D
对点训练4．[2024·宝安区海韵学校月考]已知多项式可以按完全平方公式进行因式分解，则____________．
【答案】或6
课堂通关
第一关 过基础
1．因式分解:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
（3） 原式.
（4） 原式．
2．[2024·佛冈县期中]先因式分解，再计算求值．
，其中，．
解：原式，
，，，
原式．
第二关 过能力
3．因式分解:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
（3） 原式.
（4） 原式.
4．[2024·龙岗华附期中]利用因式分解简便计算:．
解：原式.
第三关 过思维
5．[2024·南山实验期中]阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式,然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1） 因式分解：；
（2） 已知，，求的值；
（3） 的三边，，满足，试判断的形状并说明理由．
【答案】（1） 解：.
（2） ,,, 原式.
（3） 是等腰三角形，理由如下：,,
,,,即,
是等腰三角形.
