4 分式方程
第1课时 分式方程
新课导学
知识点1 分式方程的概念
分母中含有 的方程叫做分式方程.
【例1】 下列关于的方程，是分式方程的是（ ）.
A. B.
C. D.
对点训练1．[2024春·普陀区期末]下列关于的方程中，属于分式方程的是（ ）.
A. B.
C. D.
知识点2 分式方程的解
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.否则，这个解不是原方程的解.
【例2】 [2023·深圳实验学校中学部期中]若是分式方程的根，则的值为（ ）.
A. 6 B. C. 4 D.
对点训练2．[2023春·甘孜州期末]若是分式方程的根，则的值是（ ）.
A. 5 B. C. 3 D.
知识点3 列分式方程
【例3】 [2023·深圳]某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同.设大货车每辆运输吨，则可列方程为________________.
对点训练3．[2023·随州]甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修千米，则可列方程为____________________.
课堂通关
第一关 过基础
1．下列方程中是分式方程的是（ ）.
A. B. C. D.
2．[2023秋·宣化区期末]在；；；；中，分式方程有（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第二关 过能力
3．[2024·佛山市顺德区德胜学校月考]已知是方程的解，则的值为（ ）.
A. B. 2 C. 1 D.
4．我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买,两种绿植，已知种绿植单价是种绿植单价的3倍，用6 750元购买的种绿植比用3 000元购买的种绿植少50株．设种绿植单价是元，则可列方程为______________________________.
第三关 过思维
5．[2024·蓬江区校级模拟]泥石流灾害导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修米，可列方程：____________________.
6．[2024· 道远学校二模]已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为________________________________.
第2课时 分式方程的解法
新课导学
知识点1 解分式方程的步骤
解分式方程的步骤:“一去、二解、三验”.
（1）去分母，两边同乘① ，化为整式方程；
（2）解整式方程；
（3）检验（将整式方程的解代入最简公分母，若② ，则是原分式方程的解；若③ ，则不是原分式方程的解）.
【例1】 将方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）.
A. B.
C. D.
对点训练1．[2024·高州市月考]解分式方程时，下列去分母正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
【例2】 解方程：
（1） ；
（2） .
对点训练2．解方程：
（1） ;
（2） .
知识点2 分式方程的增根
在将分式方程化为整式方程时，产生的使原分式方程的分母为④ 的解，我们称它为原分式方程的增根.产生增根的原因是:我们在方程两边同乘了一个使分母为零的整式.因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程⑤ .
【例3】 [2024·深圳中学期中]若在解分式方程去分母时产生增根，求的值．
对点训练3．[2024·福田区期末]若关于的方程有增根，则的值为（ ）.
A. B. 0 C. 1 D. 2
课堂通关
第一关 过基础
1．[2024· 丰顺一模]将关于的分式方程去分母可得（ ）.
A. B.
C. D.
2．解分式方程，去分母后得到的方程正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
3．[2024·东莞光明中学二模]若代数式和的值互为相反数，则等于（ ）.
A. 1 B. C. 2 D.
4．[2024·福田莲花中学北校区模拟]分式方程的解是________．
第二关 过能力
5．[2024·深圳外国语学校月考]解分式方程：
（1） ；
（2） ．
6．[2024·五华县期末]下面是小明同学解方程的过程，其中说法正确的是（ ）.
解：方程两边同乘，得 第一步 去括号，得 第二步 移项，得 第三步 合并同类项，得 第四步 系数化为1，得 第五步
A. 从第一步开始出现错误 B. 从第二步开始出现错误
C. 从第三步开始出现错误 D. 从第四步开始出现错误
第三关 过思维
7．定义，则方程的解为（ ）.
A. B. C. D.
8．[2024·深圳宝安区期末]若关于的分式方程有增根，求的值．
第3课时 分式方程的应用
新课导学
知识点 列分式方程解应用题的一般步骤：
①审：分析问题，寻找已知量、未知量及相等关系；
②设：设恰当的未知数；
③列：根据相等关系列出分式方程；
④解：求出所列方程的根；
⑤验（双验）：首先检验所求的根是不是分式方程的根，然后检验所求的根是否与实际相符；
⑥答：写出答语.
类型一 商业问题
【例1】 农历五月初五是中国民间传统端午节，某蛋糕店一直销售的是白水粽，端午节临近又推出了红豆粽，其中红豆粽的销售单价是白水粽的1.25倍，4月份，红豆粽和白水粽共销售150千克，红豆粽的销售额是1 200元，白水粽的销售额为1 440元.问：红豆粽、白水粽的销售单价各是多少？
对点训练1．[2024春·黔西南州期末]端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共30盒分发给员工回家过节．其中粽子比咸蛋每盒贵20元．若用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格.
类型二 工程问题
【例2】 [2024·新安学校中考三模]在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务.设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是____________________________.
对点训练2．[2024·大埔县期末]为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”的发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展,某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为万平方米，可列方程为____________________________.
类型三 行程问题
【例3】 [2024·深圳中学龙岗学校中考模拟]“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院.设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为____________________.
对点训练3．明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路程约为2.5千米．明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用 .设妹妹跑步的速度为 ，则可列方程为__________________________.
类型四 分式方程与不等式（组）的综合应用
【例4】 [2024·龙岗区期末]阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用1 200元购进蓝莓销售,由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用1 500元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的贵了10元．
（1） 该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少？
（2） 假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于900元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？
对点训练4．[2024·南山区期末]第二十届文博会在深圳举行．南头古城某商铺购进,两种文创饰品，采购种饰品花了1 400元，采购种饰品花了630元，其中种数量是种数量的2倍，种的进价比种的进价每件多1元．
（1） ,两种饰品每件的进价分别为多少元？
（2） 该商铺计划购进,两种饰品共600件，购进种的件数不低于390件，且不超过种件数的4倍．现采购种饰品有优惠政策，若一次性采购种超过150件，种超过的部分按进价打6折．如果购进的这两种饰品均以每件15元全部售出，设购进种饰品件，那么为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润．
基 宜市月考]《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程为__________________________.
2．[2024·连州市期末]体育锻炼能促进青少年享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志．某校积极开展“阳光体育”活动．在一次体育活动中，小超和小明进行1 000米测试，小超的速度是小明的1.25倍，小超比小明快30秒到达终点．若设小明的速度是米/秒，则可列方程为__________________________________.
3．甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，那么甲、乙二人合做1小时共做了零件（ ）.
A. 12个 B. 18个 C. 24个 D. 30个
4．爷爷现在的年龄是孙子的5倍，12年后，爷爷的年龄是孙子的3倍，现在孙子的年龄是（ ）.
A. 11岁 B. 12岁 C. 13岁 D. 14岁
第二关 过能力
5．[2024· 南山区开学]某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成这项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（ ）.
A. 甲、乙合做了4天 B. 甲先做了4天
C. 甲先做了工程的 D. 甲、乙合做了工程的
6．[2024·海淀区校级二模]为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．具体信息如下：
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲 3 000
乙 2 000
（1） 求的值；
（2） 该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45 000元，则乙工程队至少施工多少天．
第三关 过思维
7．[2024·深圳中学龙岗学校中考模拟]综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2 160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天.
素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4 800元/天，乙部门3 000元/天.
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半.
问题解决
任务1．确定工作效率
求甲、乙两部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包.
任务2．拟订设计方案
① 若设甲部门工作 天，则甲部门完成壮锦手提包__________个，乙部门工作时间可表示为______________天.
② 如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？4 分式方程
第1课时 分式方程
新课导学
知识点1 分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
【例1】 下列关于的方程，是分式方程的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
对点训练1．[2024春·普陀区期末]下列关于的方程中，属于分式方程的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
知识点2 分式方程的解
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.否则，这个解不是原方程的解.
【例2】 [2023·深圳实验学校中学部期中]若是分式方程的根，则的值为（ ）.
A. 6 B. C. 4 D.
【答案】A
对点训练2．[2023春·甘孜州期末]若是分式方程的根，则的值是（ ）.
A. 5 B. C. 3 D.
【答案】A
知识点3 列分式方程
【例3】 [2023·深圳]某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同.设大货车每辆运输吨，则可列方程为________________.
【答案】
对点训练3．[2023·随州]甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修千米，则可列方程为____________________.
【答案】
课堂通关
第一关 过基础
1．下列方程中是分式方程的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
2．[2023秋·宣化区期末]在；；；；中，分式方程有（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
第二关 过能力
3．[2024·佛山市顺德区德胜学校月考]已知是方程的解，则的值为（ ）.
A. B. 2 C. 1 D.
【答案】A
4．我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买,两种绿植，已知种绿植单价是种绿植单价的3倍，用6 750元购买的种绿植比用3 000元购买的种绿植少50株．设种绿植单价是元，则可列方程为______________________________.
【答案】
第三关 过思维
5．[2024·蓬江区校级模拟]泥石流灾害导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修米，可列方程：____________________.
【答案】
6．[2024· 道远学校二模]已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为________________________________.
【答案】
第2课时 分式方程的解法
新课导学
知识点1 解分式方程的步骤
解分式方程的步骤:“一去、二解、三验”.
（1）去分母，两边同乘①最简公分母，化为整式方程；
（2）解整式方程；
（3）检验（将整式方程的解代入最简公分母，若②不为0，则是原分式方程的解；若③为0，则不是原分式方程的解）.
【例1】 将方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
对点训练1．[2024·高州市月考]解分式方程时，下列去分母正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【例2】 解方程：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 解：去分母,得，解得，经检验 是分式方程的解．
（2） 去分母,得，解得.检验：把 代入得， 分式方程的解为．
对点训练2．解方程：
（1） ;
（2） .
【答案】（1） 解：去分母,得，解得，经检验 是分式方程的解.
（2） 去分母,得，解得，检验:当 时,，所以原方程无解．
知识点2 分式方程的增根
在将分式方程化为整式方程时，产生的使原分式方程的分母为④零的解，我们称它为原分式方程的增根.产生增根的原因是:我们在方程两边同乘了一个使分母为零的整式.因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程⑤必须检验.
【例3】 [2024·深圳中学期中]若在解分式方程去分母时产生增根，求的值．
解：分式方程去分母,得，
由分式方程有增根得到，即，
把 代入整式方程,得．
对点训练3．[2024·福田区期末]若关于的方程有增根，则的值为（ ）.
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
课堂通关
第一关 过基础
1．[2024· 丰顺一模]将关于的分式方程去分母可得（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
2．解分式方程，去分母后得到的方程正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
3．[2024·东莞光明中学二模]若代数式和的值互为相反数，则等于（ ）.
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
4．[2024·福田莲花中学北校区模拟]分式方程的解是________．
【答案】
第二关 过能力
5．[2024·深圳外国语学校月考]解分式方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） 解：，去分母，得，去括号，得，移项、合并同类项，得，经检验，是原分式方程的解，.
（2） ,方程两边同乘，得，解得，检验：当 时，， 原分式方程无解．
6．[2024·五华县期末]下面是小明同学解方程的过程，其中说法正确的是（ ）.
解：方程两边同乘，得 第一步 去括号，得 第二步 移项，得 第三步 合并同类项，得 第四步 系数化为1，得 第五步
A. 从第一步开始出现错误 B. 从第二步开始出现错误
C. 从第三步开始出现错误 D. 从第四步开始出现错误
【答案】B
第三关 过思维
7．定义，则方程的解为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
8．[2024·深圳宝安区期末]若关于的分式方程有增根，求的值．
解：去分母，得，由分式方程有增根，得，即，把 代入整式方程，可得，解得．
第3课时 分式方程的应用
新课导学
知识点 列分式方程解应用题的一般步骤：
①审：分析问题，寻找已知量、未知量及相等关系；
②设：设恰当的未知数；
③列：根据相等关系列出分式方程；
④解：求出所列方程的根；
⑤验（双验）：首先检验所求的根是不是分式方程的根，然后检验所求的根是否与实际相符；
⑥答：写出答语.
类型一 商业问题
【例1】 农历五月初五是中国民间传统端午节，某蛋糕店一直销售的是白水粽，端午节临近又推出了红豆粽，其中红豆粽的销售单价是白水粽的1.25倍，4月份，红豆粽和白水粽共销售150千克，红豆粽的销售额是1 200元，白水粽的销售额为1 440元.问：红豆粽、白水粽的销售单价各是多少？
解：设白水粽的销售单价为 元，则红豆粽的销售单价为 元，依题意得，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，则．
答：红豆粽的销售单价是20元，白水粽的销售单价是16元．
对点训练1．[2024春·黔西南州期末]端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共30盒分发给员工回家过节．其中粽子比咸蛋每盒贵20元．若用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格.
解：设粽子每盒的价格为 元，则咸蛋每盒的价格为 元，
由题意,得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
.
答：粽子每盒的价格为90元，咸蛋每盒的价格为70元.
类型二 工程问题
【例2】 [2024·新安学校中考三模]在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务.设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是____________________________.
【答案】
对点训练2．[2024·大埔县期末]为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”的发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展,某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为万平方米，可列方程为____________________________.
【答案】
类型三 行程问题
【例3】 [2024·深圳中学龙岗学校中考模拟]“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院.设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为____________________.
【答案】
对点训练3．明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路程约为2.5千米．明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用 .设妹妹跑步的速度为 ，则可列方程为__________________________.
【答案】
类型四 分式方程与不等式（组）的综合应用
【例4】 [2024·龙岗区期末]阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用1 200元购进蓝莓销售,由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用1 500元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的贵了10元．
（1） 该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少？
（2） 假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于900元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？
【答案】
（1） 解：设该水果店第一次购进蓝莓每千克 元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克 元，
根据题意,得，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：该水果店第一次购进蓝莓的进价为每千克40元.
（2） 设每千克蓝莓的售价是 元，
根据题意,得，
解得，
的最小值为60．
答：每千克蓝莓的售价至少是60元．
对点训练4．[2024·南山区期末]第二十届文博会在深圳举行．南头古城某商铺购进,两种文创饰品，采购种饰品花了1 400元，采购种饰品花了630元，其中种数量是种数量的2倍，种的进价比种的进价每件多1元．
（1） ,两种饰品每件的进价分别为多少元？
（2） 该商铺计划购进,两种饰品共600件，购进种的件数不低于390件，且不超过种件数的4倍．现采购种饰品有优惠政策，若一次性采购种超过150件，种超过的部分按进价打6折．如果购进的这两种饰品均以每件15元全部售出，设购进种饰品件，那么为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润．
【答案】
（1） 解：设每件 种饰品的进价是 元，则每件 种饰品的进价是 元，根据题意,得，解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意，．
答：每件 种饰品的进价是10元，每件 种饰品的进价是9元.
（2） 该商铺计划购进,两种饰品共600件，且购进 种饰品 件， 购进 种饰品 件．根据题意,得 解得．设购进的两种饰品全部售出后获得的总利润为 元，若，则，即，，随 的增大而减小， 当 时，取得最大值，最大值为；若，则，即，，随 的增大而增大， 当 时，取得最大值，最大值为， 当 为210时，能使本次销售的利润最大，最大利润是3 630元．
课堂通关
第一关 过基础
1．[2024·信宜市月考]《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程为__________________________.
【答案】
2．[2024·连州市期末]体育锻炼能促进青少年享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志．某校积极开展“阳光体育”活动．在一次体育活动中，小超和小明进行1 000米测试，小超的速度是小明的1.25倍，小超比小明快30秒到达终点．若设小明的速度是米/秒，则可列方程为__________________________________.
【答案】
3．甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，那么甲、乙二人合做1小时共做了零件（ ）.
A. 12个 B. 18个 C. 24个 D. 30个
【答案】D
4．爷爷现在的年龄是孙子的5倍，12年后，爷爷的年龄是孙子的3倍，现在孙子的年龄是（ ）.
A. 11岁 B. 12岁 C. 13岁 D. 14岁
【答案】B
第二关 过能力
5．[2024· 南山区开学]某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成这项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（ ）.
A. 甲、乙合做了4天 B. 甲先做了4天
C. 甲先做了工程的 D. 甲、乙合做了工程的
【答案】A
6．[2024·海淀区校级二模]为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．具体信息如下：
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲 3 000
乙 2 000
（1） 求的值；
（2） 该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45 000元，则乙工程队至少施工多少天．
【答案】（1） 解：根据题意,得，解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意．答：的值为300.
（2） 设乙工程队施工 天，则甲工程队施工 天，根据题意,得，解得，的最小值为15．答：乙工程队至少施工15天．
第三关 过思维
7．[2024·深圳中学龙岗学校中考模拟]综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2 160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天.
素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4 800元/天，乙部门3 000元/天.
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半.
问题解决
任务1．确定工作效率
求甲、乙两部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包.
任务2．拟订设计方案
① 若设甲部门工作 天，则甲部门完成壮锦手提包__________个，乙部门工作时间可表示为______________天.
② 如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
【答案】
任务1 解：设乙部门原来每天生产 个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产 个壮锦手提包，由题意,得，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，.
答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包.
任务2 ① ；
② 由题意,得，解得.
设该公司支付的总工资为 元，由题意得
，
，随 的增大而减小，
当 时，有最小值，最小值为，
此时，.
答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97 200元．
【解析】
任务2 ① 设甲部门工作 天，则甲部门完成壮锦手提包 个，乙部门工作时间可表示为（天），故答案为，.
