2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定（1）
新课导学
知识点 平行四边形的判定
1.两组对边分别① 的四边形是平行四边形.
2.两组对边分别② 的四边形是平行四边形.
3.一组对边③ 的四边形是平行四边形.
【例】 [2024春·潼关县期末]如图，点,均在四边形的对角线上，连接,，若，，，求证：四边形为平行四边形．
4 ，要使四边形成为平行四边形，则在下列条件中，应增加条件（ ）.
A. B.
C. D.
课堂通关
第一关 过基础
1．[2024·江海区期中]如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）.
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2．[2023·盐田区期末]如图，两条射线，点，分别在射线，上，只需添加一个条件，即可判断四边形为平行四边形．这个条件可以是____________________________________________．
3．[2024春·房山区期中]下列四组条件中，能判定四边形是平行四边形的有（ ）.
，；，；，；，．
A. ②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①③④
4．[2024·惠东县期中]如图，在四边形中，，．
求证： 四边形是平行四边形．
5．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ）.
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④
6．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，沿方向平移长度得到，则四边形的面积为____.
第二关 过能力
7．[2023秋·梅州八年级校考阶段练习]如图，在中， ， ，，将沿方向向右平移得到，若四边形的面积为24，则平移距离是（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
8．[2024·中山市期中]如图，在四边形中，为上一点，，，且，，求证：四边形为平行四边形．
2 统 中，点，在对角线上，连接,,,，点，满足以下条件中的一个：；；；；,.
其中，能使四边形为平行四边形的条件个数为（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第2课时 平行四边形的判定（2）
新课导学
知识点1 通过对角线判定平行四边形
对角线① 的四边形是平行四边形.
【例1】 [2024春·夹江县期末]如图所示，的对角线,交于点，点在上，点在上，．求证：四边形是平行四边形．
对点训练1．[2024春·蒲城县期末]如图，四边形的对角线交于点，且为的中点，，，求证：四边形是平行四边形．
四 应 形是平行四边形.
2.两组对边分别③ 的四边形是平行四边形.
3.一组对边④ 的四边形是平行四边形.
4.对角线⑤ 的四边形是平行四边形.
【例2】 [2024·珠海期中]如图,在中，，是对角线上的两点，则以下条件不能判断四边形为平行四边形的是（ ）.
A. B. ,
C. D.
对点训练2．[2024· 宝安区校级三模]如图1，在平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）.
图1 图2
A. 只有甲、乙才是 B. 只有甲、丙才是
C. 只有乙、丙才是 D. 甲、乙、丙都是
【例3】 [2024·南山区期中]如图，点,是平行四边形对角线上两点，．
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若，， ，求平行四边形的面积．
区 中，对角线与相交于点， ，，垂足分别为，，，．
（1） 求证：四边形是平行四边形;
（2） 若，，，求的长．
课堂通关
第一关 过基础
1．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）.
A. 对角线互相平分
B. 一组对边平行且相等
C. 两组对边分别平行
D. 一组对边平行，另一组对边相等
2．[2024·惠东县期中]如图，四边形的对角线交于点，下列哪组条件不能判定四边形是平行四边形（ ）.
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3．下列说法不正确的是（ ）.
A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B. 平行四边形的对角相等，邻角互补
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 两组对角互补的四边形是平行四边形
4．已知点、点、点，以点，，三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）.
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
第二关 过能力
5．[2024·福田区期末]如图，是中边上的中线，与相交于点，且，．
（1） 求证：四边形为平行四边形；
（2） 若，，求的面积．
6．[2024·深圳外国语学校月考]如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）.
A. 四边形的周长不变 B.
C. 四边形的面积不变 D.
第三关 过思维
7．学习了《平行四边形》一章以后，小东根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．
以下是小东的探究过程，请补充完整：
（1） 在四边形中，对角线与相交于点，若，补充下列条件能判定四边形是平行四边形的是________________（写出一个你认为正确选项的序号即可）；
A. B. C.
（2） 将（1）中的命题用文字语言表述为：
① 命题1______________________________________________________________________________；
② 画出图形，并写出命题1的证明过程；
（3） 小东进一步探究发现：
若一个四边形的三个顶点，，的位置如图所示，且这个四边形满足，，但四边形不是平行四边形，画出符合题意的四边形，进而小东发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．
第3课时 平行线之间的距离与平行四边形的判定与性质
新课导学
知识点1 平行线之间的距离
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上① 一点到另一条直线的② 都相等，这个距离称为平行线之间的距离.
【例1】 [2024·惠城区期末]如图，若直线，则下列哪条线段的长可以表示平行线与之间的距离________.
对点训练1．平行线之间的距离是指（ ）.
A. 从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B. 从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C. 从一条直线上一点到另一条直线的垂线长度
D. 从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
知识点2 平行线之间的距离的性质的应用
平行线间的距离:平行线间的③ 的长，平行线间的距离④ ,夹在两条平行线间的平行线段都⑤ .
【例2】 直线，，是三条平行线，已知与的距离为5厘米，与的距离为2厘米，则与的距离为____厘米.
对点训练2．[2024·湛江期末]体育课上，老师测量跳远成绩的依据是____________.
【例3】 [2024·增城区期末]如图，，点,分别在直线,上， ，点在直线上，且 ，若,之间的距离为3，则线段的长度为____．
对点训练3．[2024·珠海市斗门实验中学期中]如图，直线，点是直线上一个动点，当点的位置发生变化时，的面积（ ）.
A. 向左移动变小 B. 向右移动变小
C. 始终不变 D. 无法确定
课堂通关
第一关 过基础
1．如图,已知,,,,下列说法错误的是（ ）.
A. B. C. D.
2．如图所示，能表示直线，之间距离的是线段（ ）.
A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 以上都不对
第二关 过能力
3．[2024春·海州区校级期末]在中，，相交于点，分别过点作于点，在上取点，连接，使．连接，．
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若，，，求的面积．
4．如图，在正方形中，，是正方形的外角，是的平分线上任意一点，则的面积等于____.
第三关 过思维
5．如图，平行线，间的距离为5，直线与，分别交于点，， ，在上取点（不与点重合），作点关于的对称点.若，则点到的距离为____.
6．[2023·龙华区期末]如图，，直线与直线之间的距离为4，点是直线与外一点，点到直线的距离为2，点，分别是直线与直线上的动点，以点为圆心，的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，则点与点之间距离的最小值为____.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定（1）
新课导学
知识点 平行四边形的判定
1.两组对边分别①平行的四边形是平行四边形.
2.两组对边分别②相等的四边形是平行四边形.
3.一组对边③平行且相等的四边形是平行四边形.
【例】 [2024春·潼关县期末]如图，点,均在四边形的对角线上，连接,，若，，，求证：四边形为平行四边形．
证明：，．
在 和 中，
，．
，， 四边形 为平行四边形．
对点训练．[2024·白云区期末]在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则在下列条件中，应增加条件（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
课堂通关
第一关 过基础
1．[2024·江海区期中]如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）.
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
2．[2023·盐田区期末]如图，两条射线，点，分别在射线，上，只需添加一个条件，即可判断四边形为平行四边形．这个条件可以是____________________________________________．
【答案】或（答案不唯一）
3．[2024春·房山区期中]下列四组条件中，能判定四边形是平行四边形的有（ ）.
，；，；，；，．
A. ②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①③④
【答案】B
4．[2024·惠东县期中]如图，在四边形中，，．
求证： 四边形是平行四边形．
证明：,．
，．
四边形 是平行四边形.
5．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ）.
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】C
6．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，沿方向平移长度得到，则四边形的面积为____.
【答案】3
第二关 过能力
7．[2023秋·梅州八年级校考阶段练习]如图，在中， ， ，，将沿方向向右平移得到，若四边形的面积为24，则平移距离是（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】B
8．[2024·中山市期中]如图，在四边形中，为上一点，，，且，，求证：四边形为平行四边形．
证明：在 和 中，，，，，， 四边形 为平行四边形．
第三关 过思维
9．[2022春·清远八年级统考期末]如图，在中，点，在对角线上，连接,,,，点，满足以下条件中的一个：；；；；,.
其中，能使四边形为平行四边形的条件个数为（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
第2课时 平行四边形的判定（2）
新课导学
知识点1 通过对角线判定平行四边形
对角线①互相平分的四边形是平行四边形.
【例1】 [2024春·夹江县期末]如图所示，的对角线,交于点，点在上，点在上，．求证：四边形是平行四边形．
证明：，.
又 四边形 是平行四边形，.
又，，
.又，
四边形 是平行四边形．
对点训练1．[2024春·蒲城县期末]如图，四边形的对角线交于点，且为的中点，，，求证：四边形是平行四边形．
证明：为的中点，，，.在和中，，.又， 四边形是平行四边形．
知识点2 平行四边形性质与判定的综合应用
1.两组对边分别②平行的四边形是平行四边形.
2.两组对边分别③相等的四边形是平行四边形.
3.一组对边④平行且相等的四边形是平行四边形.
4.对角线⑤互相平分的四边形是平行四边形.
【例2】 [2024·珠海期中]如图,在中，，是对角线上的两点，则以下条件不能判断四边形为平行四边形的是（ ）.
A. B. ,
C. D.
【答案】C
对点训练2．[2024· 宝安区校级三模]如图1，在平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）.
图1 图2
A. 只有甲、乙才是 B. 只有甲、丙才是
C. 只有乙、丙才是 D. 甲、乙、丙都是
【答案】D
【例3】 [2024·南山区期中]如图，点,是平行四边形对角线上两点，．
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若，， ，求平行四边形的面积．
【答案】
（1） 证明：在平行四边形 中，，，.
又，.
在 和 中，
，.
又， 四边形 是平行四边形.
（2） 解：如图，过点 作，交 的延长线于点，
在 中，， ，.
， 平行四边形 的面积．
对点训练3．[2024·罗湖区期末]如图，在四边形中，对角线与相交于点， ，，垂足分别为，，，．
（1） 求证：四边形是平行四边形;
（2） 若，，，求的长．
【答案】
（1） 证明：如图，连接，，
，，.
，
四边形 是平行四边形，，.
，，，
四边形 是平行四边形.
（2） 解：,,.
,,.
, ,,
.
课堂通关
第一关 过基础
1．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）.
A. 对角线互相平分
B. 一组对边平行且相等
C. 两组对边分别平行
D. 一组对边平行，另一组对边相等
【答案】D
2．[2024·惠东县期中]如图，四边形的对角线交于点，下列哪组条件不能判定四边形是平行四边形（ ）.
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
3．下列说法不正确的是（ ）.
A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B. 平行四边形的对角相等，邻角互补
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 两组对角互补的四边形是平行四边形
【答案】D
4．已知点、点、点，以点，，三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）.
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
第二关 过能力
5．[2024·福田区期末]如图，是中边上的中线，与相交于点，且，．
（1） 求证：四边形为平行四边形；
（2） 若，，求的面积．
【答案】（1） 证明：，.又，，，是 中 边上的中线，，， 四边形 为平行四边形.
（2） 解：，，，，是直角三角形，且 ，，．
6．[2024·深圳外国语学校月考]如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）.
A. 四边形的周长不变 B.
C. 四边形的面积不变 D.
【答案】D
第三关 过思维
7．学习了《平行四边形》一章以后，小东根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．
以下是小东的探究过程，请补充完整：
（1） 在四边形中，对角线与相交于点，若，补充下列条件能判定四边形是平行四边形的是________________（写出一个你认为正确选项的序号即可）；
A. B. C.
（2） 将（1）中的命题用文字语言表述为：
① 命题1______________________________________________________________________________；
② 画出图形，并写出命题1的证明过程；
（3） 小东进一步探究发现：
若一个四边形的三个顶点，，的位置如图所示，且这个四边形满足，，但四边形不是平行四边形，画出符合题意的四边形，进而小东发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．
【答案】（1） B或C
（2） ① 一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
② 已知：如图1，在四边形 中，，对角线 与 交于点，．
图1
求证：四边形 是平行四边形．
证明：，，，
，，.
又， 四边形 是平行四边形．
（3） 如图2所示，四边形 满足，，但四边形 不是平行四边形．
图2
【解析】
（1） 解：在四边形 中，对角线 与 相交于点，若，则当 或 时，四边形 是平行四边形.故答案为 或.
（2） ① 选择，文字语言表述为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.故答案为一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.
第3课时 平行线之间的距离与平行四边形的判定与性质
新课导学
知识点1 平行线之间的距离
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上①任意一点到另一条直线的②距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离.
【例1】 [2024·惠城区期末]如图，若直线，则下列哪条线段的长可以表示平行线与之间的距离________.
【答案】
对点训练1．平行线之间的距离是指（ ）.
A. 从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B. 从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C. 从一条直线上一点到另一条直线的垂线长度
D. 从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
【答案】B
知识点2 平行线之间的距离的性质的应用
平行线间的距离:平行线间的③垂线段的长，平行线间的距离④处处相等,夹在两条平行线间的平行线段都⑤相等.
【例2】 直线，，是三条平行线，已知与的距离为5厘米，与的距离为2厘米，则与的距离为____厘米.
【答案】3或7
对点训练2．[2024·湛江期末]体育课上，老师测量跳远成绩的依据是____________.
【答案】垂线段最短
【例3】 [2024·增城区期末]如图，，点,分别在直线,上， ，点在直线上，且 ，若,之间的距离为3，则线段的长度为____．
【答案】6
对点训练3．[2024·珠海市斗门实验中学期中]如图，直线，点是直线上一个动点，当点的位置发生变化时，的面积（ ）.
A. 向左移动变小 B. 向右移动变小
C. 始终不变 D. 无法确定
【答案】C
课堂通关
第一关 过基础
1．如图,已知,,,,下列说法错误的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
2．如图所示，能表示直线，之间距离的是线段（ ）.
A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 以上都不对
【答案】B
第二关 过能力
3．[2024春·海州区校级期末]在中，，相交于点，分别过点作于点，在上取点，连接，使．连接，．
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若，，，求的面积．
【答案】
（1） 证明： 四边形 是平行四边形，
，，，，
.
，，
，，
.
又， 四边形 是平行四边形.
（2） 解：， ，
由（1）得 ，
在 中，由勾股定理得，
即，
.
，．
4．如图，在正方形中，，是正方形的外角，是的平分线上任意一点，则的面积等于____.
【答案】1
第三关 过思维
5．如图，平行线，间的距离为5，直线与，分别交于点，， ，在上取点（不与点重合），作点关于的对称点.若，则点到的距离为____.
【答案】2或8
6．[2023·龙华区期末]如图，，直线与直线之间的距离为4，点是直线与外一点，点到直线的距离为2，点，分别是直线与直线上的动点，以点为圆心，的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，则点与点之间距离的最小值为____.
【答案】8
