第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 章末复习
思维导图
易错点剖析
易错点一 对不等式的基本性质理解不够清晰，不能准确把握是否需要改变符号
【例1】 [2022·深圳福田区校级月考]如图，，在数轴上的位置如图所示，用“ ”或“ ”填空.
（1） ____；
（2） ____；
（3） ____；
（4） ____0.
1.运用不等式的基本性质1和基本性质2，不改变不等式的符号,只有运用不等式的基本性质3时，不等式的符号才要改变；
2.要清楚变化前后，是运用了不等式的哪条基本性质.
跟踪练习
1．下列各式正确的是（ ）.
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
易错点二 解集在数轴上表示时，空心圆圈与实心圆点容易漏标
【例2】 [2024·百合外国语学校期中]如图，数轴上所表示的关于的不等式组的解集是（ ）.
A. B. C. D.
1.“ ”用空心圆圈向右的折线表示,“ ”用实心圆点向右的折线表示,“ ”用空心圆圈向左的折线表示,“ ”用实心圆点向左的折线表示；
2.要先依次在数轴上表示出各个不等式的解集，不重不漏，再取它们的公共部分作为不等式组的解集.
跟踪练习
2．[2024·福田区期中]不等式组的解集在数轴上应表示为（ ）.
A. B.
C. D.
易错点三 解不等式（组）时，去分母漏乘，漏添括号，随意改变不等号方向
【例3】 解不等式，并把它的解集表示在数轴上.
1.解不等式的一般步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.
2.去括号要看清括号前面的符号，正号则都不变号，负号则都要变号；
3.去分母一是不要漏乘，二是分母为多项式则需要添加括号；
4.移项要变号，系数化为1时，要特别注意是否使用了不等式的基本性质3.
跟踪练习
3．[2024·龙岗区华附集团校期中]解不等式组并将其解集表示在如图所示的数轴上．
易错点四 分不清象限中横、纵坐标的正负情况易错
【例4】 [2024·百合外国语学校期中]已知点的坐标为,且在第二象限，则的值可能是（ ）.
A. B. C. 0 D. 1
四个象限内的点的横纵坐标:在第一象限同正，第三象限同负，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第四象限横坐标为正、纵坐标为负.
跟踪练习
4．[2024·深圳实验初中部期中]若点在第四象限，则的取值范围是____________．
易错点五 一次函数图象与轴、轴的交点坐标易混淆
【例5】 [2024·锦华实验学校月考]函数,为常数，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）.
A. B. C. D.
一次函数图象与 轴交点的纵坐标为0;与 轴交点的横坐标为0.不等式的取值一般对应一次函数图象上点的纵坐标的取值.
跟踪练习
5．[2024·红岭教育集团期中]如图，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是________．
重难点突破
重难点一 打折销售
（1）熟记关系式：折后售价 标价 （折扣），利润 折后售价-进价.
（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键.
1．[2023·深圳龙华区期末]某商品每件进价100元，每件标价150元，为了促销，商家决定打折销售，但其利润率不能低于，则这种商品最多可以打____折.
重难点二 分配问题
（1）根据题目给的不等量关系列出不等式，特别是要理解不空也不满的意义；
（2）注意应用题有时答案不唯一，要分情况讨论；
（3）这类题考查分析理解能力，要结合实际验证求出的答案，思考要周密.
2．[2023·深圳福田区期末]若干学生租游船若干只，如果每只船坐4人，就余下20人，如果每只船坐8人，那么就有1只船不空也不满，则学生共有__人.
重难点三 含参不等式组
（1）按正常解不等式的步骤和方法，把参数看成数字，把不等式组的解集用含参数的式子表示出来.
（2）根据题目对解的条件重新列出新的不等式或方程求出参数的取值范围.
3．[2024·福田外国语学校期中]若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
重难点四 不等式的综合应用
（1）读懂题目的含义，理清实际问题中各数量之间的关系；
（2）根据各数量之间的关系列出相应关系式；
（3）根据关系式，正确求出相应数量进行比较.
4．[2024·宝安区10校联考期中]某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：
进货批次 甲种水果质量（单位：千克） 乙种水果质量（单位：千克） 总费用（单位：元）
第一次 60 40 1 520
第二次 30 50 1 360
（1） 求甲、乙两种水果的进价；
（2） 销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲种水果80千克，乙种水果120千克．将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元的价格销售，乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数的最大值．
点，方程组；
（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；
（3）正确列出函数表达式，利用函数的性质解答.
5．为迎接校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元．
（1） 求甲、乙两种模型的单价各是多少元？
（2） 现计划用1 220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求选购两种模型共有多少种方案？乙种模型选购多少套时总费用最少？
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思维导图
易错点剖析
易错点一 对不等式的基本性质理解不够清晰，不能准确把握是否需要改变符号
【例1】 [2022·深圳福田区校级月考]如图，，在数轴上的位置如图所示，用“ ”或“ ”填空.
（1） ____；
（2） ____；
（3） ____；
（4） ____0.
1.运用不等式的基本性质1和基本性质2，不改变不等式的符号,只有运用不等式的基本性质3时，不等式的符号才要改变；
2.要清楚变化前后，是运用了不等式的哪条基本性质.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
跟踪练习
1．下列各式正确的是（ ）.
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
易错点二 解集在数轴上表示时，空心圆圈与实心圆点容易漏标
【例2】 [2024·百合外国语学校期中]如图，数轴上所表示的关于的不等式组的解集是（ ）.
A. B. C. D.
1.“ ”用空心圆圈向右的折线表示,“ ”用实心圆点向右的折线表示,“ ”用空心圆圈向左的折线表示,“ ”用实心圆点向左的折线表示；
2.要先依次在数轴上表示出各个不等式的解集，不重不漏，再取它们的公共部分作为不等式组的解集.
【答案】D
跟踪练习
2．[2024·福田区期中]不等式组的解集在数轴上应表示为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
易错点三 解不等式（组）时，去分母漏乘，漏添括号，随意改变不等号方向
【例3】 解不等式，并把它的解集表示在数轴上.
解：，，，把它的解集表示在数轴上如图.
1.解不等式的一般步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.
2.去括号要看清括号前面的符号，正号则都不变号，负号则都要变号；
3.去分母一是不要漏乘，二是分母为多项式则需要添加括号；
4.移项要变号，系数化为1时，要特别注意是否使用了不等式的基本性质3.
跟踪练习
3．[2024·龙岗区华附集团校期中]解不等式组并将其解集表示在如图所示的数轴上．
解：由①得，由②得，把解集在数轴上表示出来如图所示.
不等式组的解集为.
易错点四 分不清象限中横、纵坐标的正负情况易错
【例4】 [2024·百合外国语学校期中]已知点的坐标为,且在第二象限，则的值可能是（ ）.
A. B. C. 0 D. 1
四个象限内的点的横纵坐标:在第一象限同正，第三象限同负，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第四象限横坐标为正、纵坐标为负.
【答案】B
跟踪练习
4．[2024·深圳实验初中部期中]若点在第四象限，则的取值范围是____________．
【答案】
易错点五 一次函数图象与轴、轴的交点坐标易混淆
【例5】 [2024·锦华实验学校月考]函数,为常数，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）.
A. B. C. D.
一次函数图象与 轴交点的纵坐标为0;与 轴交点的横坐标为0.不等式的取值一般对应一次函数图象上点的纵坐标的取值.
【答案】D
跟踪练习
5．[2024·红岭教育集团期中]如图，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是________．
【答案】
重难点突破
重难点一 打折销售
（1）熟记关系式：折后售价 标价 （折扣），利润 折后售价-进价.
（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键.
1．[2023·深圳龙华区期末]某商品每件进价100元，每件标价150元，为了促销，商家决定打折销售，但其利润率不能低于，则这种商品最多可以打____折.
【答案】8
重难点二 分配问题
（1）根据题目给的不等量关系列出不等式，特别是要理解不空也不满的意义；
（2）注意应用题有时答案不唯一，要分情况讨论；
（3）这类题考查分析理解能力，要结合实际验证求出的答案，思考要周密.
2．[2023·深圳福田区期末]若干学生租游船若干只，如果每只船坐4人，就余下20人，如果每只船坐8人，那么就有1只船不空也不满，则学生共有__人.
【答案】44
重难点三 含参不等式组
（1）按正常解不等式的步骤和方法，把参数看成数字，把不等式组的解集用含参数的式子表示出来.
（2）根据题目对解的条件重新列出新的不等式或方程求出参数的取值范围.
3．[2024·福田外国语学校期中]若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
重难点四 不等式的综合应用
（1）读懂题目的含义，理清实际问题中各数量之间的关系；
（2）根据各数量之间的关系列出相应关系式；
（3）根据关系式，正确求出相应数量进行比较.
4．[2024·宝安区10校联考期中]某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：
进货批次 甲种水果质量（单位：千克） 乙种水果质量（单位：千克） 总费用（单位：元）
第一次 60 40 1 520
第二次 30 50 1 360
（1） 求甲、乙两种水果的进价；
（2） 销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲种水果80千克，乙种水果120千克．将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元的价格销售，乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数的最大值．
【答案】
（1） 解：设甲种水果的进价为每千克 元，乙种水果的进价为每千克 元．
根据题意，得 解方程组，得
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
（2） 水果店第三次获得的利润为.
根据题意，得,
解这个不等式，得． 正整数 的最大值为22．
重难点五 不等式组的综合应用
（1）明确题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程组；
（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；
（3）正确列出函数表达式，利用函数的性质解答.
5．为迎接校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元．
（1） 求甲、乙两种模型的单价各是多少元？
（2） 现计划用1 220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求选购两种模型共有多少种方案？乙种模型选购多少套时总费用最少？
【答案】
（1） 解：设甲种模型的单价为 元，乙种模型的单价为 元，
则 解得
答：甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价为30元．
（2） 设乙种模型选购 套，则甲种模型选购 套，
由题意可得 解得
.
为整数， 一共有3种选购方案.
设总费用为 元，则，
当 越小时，总费用越少，即当 套时，总费用最少.
答：乙种模型选购20套时，总费用最少．
第页/共页
