第六章 平行四边形 章末复习
思维导图
易错点剖析
易错点一 对平行四边形的性质理解不清
【例1】 [2024·连平县期末]如图，在平行四边形中， ，则__________.
灵活、恰当地应用平行四边形的性质和判定是解决平行四边形中角度和线段问题的关键.平行四边形的性质有：①边：平行四边形的对边平行且相等;②角：平行四边形的对角相等;③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
跟踪练习
1．[2024·大埔县期末]如图，平行四边形的两条对角线交于点，的周长比的周长大，已知，则的长为____________.
易错点二 对平行四边形的判定理解不清
【例2】 如图，在四边形中，对角线与相交于点，要使四边形为平行四边形，则添加的条件可以是（ ）.
A. , B. ,
C. , D. ,
平行四边形有四种判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形;（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形;（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据具体问题，灵活使用判定方法.平行四边形的综合问题有时需要转化，转化方向可考虑全等三角形.
跟踪练习
2．[2024·潮州期中]如图，下面能判断四边形是平行四边形的是（ ）.
A. , B. ,
C. , D. ,
易错点三 对平行线之间的距离理解不清
【例3】 [2024·南开区育贤中学期中]如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（ ）.
A.
B.
C. 直线，之间的距离是线段的长
D. 直线，之间的距离是线段的长
求两条平行线间的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线间的距离.（2）两条平行线的位置确定后，它们之间的距离就是个定值，不随垂线段位置的改变而改变，即两平行线间的距离处处相等.
跟踪练习
3．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是__________________________.
易错点四 对三角形的中位线的性质理解不清
【例4】 如图，在四边形中，是对角线的中点，点，分别是，的中点，， ，则的度数是（ ）.
A. B. C. D.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.由于平行线结论的出现，产生了同位角、内错角、同旁内角等许多角之间的等量关系，又由于中位线等于第三边的一半并且平分其他两条边，这样就出现了线段之间的等量关系.
跟踪练习
4．[2024·英德市期末]如图，直线，点,固定在直线上，点是直线上一动点，若点,分别为,的中点，对于下列各值：①线段的长；的周长；的面积；的度数，其中不随点的移动而改变的是（ ）.
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
重难点突破
重难点一 平行四边形的性质
平行四边形的性质包括：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分.
1．[2024·阳江期中]在平行四边形中， ，则等于__________.
2．[2024·始兴县期末]如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为____________.
第2题图
3．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，的平分线交于点，则线段的长是（ ）.
第3题图
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4．如图，平行四边形的面积为20，对角线与相交于点，点，分别是,上的点，且，则图中阴影部分的面积为（ ）.
第4题图
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
重难点二 平行四边形的判定
平行四边形的判定定理包括:两组对边分别平行;两组对边分别相等;一组对边平行且相等;对角线互相平分.
5．如图，，， ，则（ ）.
第5题图
A. B. C. D.
6．如图，在平行四边形中， ，，分别在和的延长线上，，，，则的长是（ ）.
第6题图
A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2
7．如图，若直线，，在直线上，，在直线上，，，，的面积为6，则直线与之间的距离为____.
第7题图
8．[2024·佛山期末]如图，在中， ， ，以线段为边在上方作等边，点是线段的中点，连接．
（1） 若，求的长；
（2） 求证：四边形是平行四边形．
9．[2024·红岭教育集团期中]如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1） 求证：；
（2） 若， ，求的度数．
的第一半.
10．[2024·龙湖区期末]为了更好开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程．该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖畔，两点之间的距离，该实践小组所画的示意图如图所示，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定，的中点，，最后用卷尺量出，则，之间的距离是____________.
第10题图
11．如图，的对角线，相交于点，是的中点，，，则平行四边形的周长为（ ）.
第11题图
A. 9.5 B. 13 C. 26 D. 19
12．[2024·中山市期末]如图，在中，点是的中点，，点是上的动点，连接点与的中点,则的最大值是____．
第12题图
13．[2024·广州二中教育集团期中]如图，在四边形中，点，分别是边，的中点，，，， ，则__________．
第13题图
14．如图，在中， ，,分别是,的中点，延长至点，使，连接,,,,交于点.
（1） 证明：与互相平分；
（2） 若,，求的长度.
15．如图，在中，，，分别为，的中点，连接，过点作交的延长线于点.
（1） 求证：；
（2） 若 ，求的长.
第页/共页第六章 平行四边形 章末复习
思维导图
易错点剖析
易错点一 对平行四边形的性质理解不清
【例1】 [2024·连平县期末]如图，在平行四边形中， ，则__________.
灵活、恰当地应用平行四边形的性质和判定是解决平行四边形中角度和线段问题的关键.平行四边形的性质有：①边：平行四边形的对边平行且相等;②角：平行四边形的对角相等;③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
【答案】
跟踪练习
1．[2024·大埔县期末]如图，平行四边形的两条对角线交于点，的周长比的周长大，已知，则的长为____________.
【答案】
易错点二 对平行四边形的判定理解不清
【例2】 如图，在四边形中，对角线与相交于点，要使四边形为平行四边形，则添加的条件可以是（ ）.
A. , B. ,
C. , D. ,
平行四边形有四种判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形;（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形;（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据具体问题，灵活使用判定方法.平行四边形的综合问题有时需要转化，转化方向可考虑全等三角形.
【答案】C
跟踪练习
2．[2024·潮州期中]如图，下面能判断四边形是平行四边形的是（ ）.
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】C
易错点三 对平行线之间的距离理解不清
【例3】 [2024·南开区育贤中学期中]如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（ ）.
A.
B.
C. 直线，之间的距离是线段的长
D. 直线，之间的距离是线段的长
求两条平行线间的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线间的距离.（2）两条平行线的位置确定后，它们之间的距离就是个定值，不随垂线段位置的改变而改变，即两平行线间的距离处处相等.
【答案】C
跟踪练习
3．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是__________________________.
【答案】或
易错点四 对三角形的中位线的性质理解不清
【例4】 如图，在四边形中，是对角线的中点，点，分别是，的中点，， ，则的度数是（ ）.
A. B. C. D.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.由于平行线结论的出现，产生了同位角、内错角、同旁内角等许多角之间的等量关系，又由于中位线等于第三边的一半并且平分其他两条边，这样就出现了线段之间的等量关系.
【答案】D
跟踪练习
4．[2024·英德市期末]如图，直线，点,固定在直线上，点是直线上一动点，若点,分别为,的中点，对于下列各值：①线段的长；的周长；的面积；的度数，其中不随点的移动而改变的是（ ）.
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】B
重难点突破
重难点一 平行四边形的性质
平行四边形的性质包括：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分.
1．[2024·阳江期中]在平行四边形中， ，则等于__________.
【答案】
2．[2024·始兴县期末]如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为____________.
第2题图
【答案】
3．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，的平分线交于点，则线段的长是（ ）.
第3题图
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
4．如图，平行四边形的面积为20，对角线与相交于点，点，分别是,上的点，且，则图中阴影部分的面积为（ ）.
第4题图
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
【答案】B
重难点二 平行四边形的判定
平行四边形的判定定理包括:两组对边分别平行;两组对边分别相等;一组对边平行且相等;对角线互相平分.
5．如图，，， ，则（ ）.
第5题图
A. B. C. D.
【答案】A
6．如图，在平行四边形中， ，，分别在和的延长线上，，，，则的长是（ ）.
第6题图
A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2
【答案】B
7．如图，若直线，，在直线上，，在直线上，，，，的面积为6，则直线与之间的距离为____.
第7题图
【答案】4
8．[2024·佛山期末]如图，在中， ， ，以线段为边在上方作等边，点是线段的中点，连接．
（1） 若，求的长；
（2） 求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1） 解： ， ，.设，则，，即，解得（舍去负值），即，.是等边三角形，.
（2） 证明： ， ，， .是等边三角形，
，，， 点 是线段 的中点，
，是等边三角形，，
.又， 四边形 为平行四边形．
9．[2024·红岭教育集团期中]如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1） 求证：；
（2） 若， ，求的度数．
【答案】
（1） 证明： 四边形 是平行四边形，，，，.
点 是 的中点，.
在 和 中，
，，.
（2） 解：由（1）可得，，
， ， ，
．
重难点三 三角形的中位线
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
10．[2024·龙湖区期末]为了更好开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程．该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖畔，两点之间的距离，该实践小组所画的示意图如图所示，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定，的中点，，最后用卷尺量出，则，之间的距离是____________.
第10题图
【答案】
11．如图，的对角线，相交于点，是的中点，，，则平行四边形的周长为（ ）.
第11题图
A. 9.5 B. 13 C. 26 D. 19
【答案】C
12．[2024·中山市期末]如图，在中，点是的中点，，点是上的动点，连接点与的中点,则的最大值是____．
第12题图
【答案】3
13．[2024·广州二中教育集团期中]如图，在四边形中，点，分别是边，的中点，，，， ，则__________．
第13题图
【答案】
14．如图，在中， ，,分别是,的中点，延长至点，使，连接,,,,交于点.
（1） 证明：与互相平分；
（2） 若,，求的长度.
【答案】
（1） 证明：，分别是，的中点，，.
点 在 的延长线上，，，， 四边形 是平行四边形，
与 互相平分．
（2） 解： ，， .，，，与 互相平分,，，的长度是10．
15．如图，在中，，，分别为，的中点，连接，过点作交的延长线于点.
（1） 求证：；
（2） 若 ，求的长.
【答案】（1） 证明：，分别是，的中点，是 的中位线，，即.又， 四边形 为平行四边形，.
（2） 解：， ，是等边三角形，.
又 为 的中点，， 在 中，，
.
四边形 是平行四边形，．
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