第四章 因式分解 章末复习
思维导图
易错点剖析
易错点一 混淆因式分解与整式乘法
【例1】 [2024·禅城区期末]下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）.
A. B.
C. D.
将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解.因式分解的对象必须是多项式，即只有多项式才有可能因式分解.因式分解的结果要用几个整式的积的形式表示.
【答案】A
跟踪练习
1．[2023春·深圳八年级统考期中]下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
易错点二 提公因式分解因式没有提尽
【例2】 因式分解：.
解：原式.
提公因式时，需要提出多项式各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂.
跟踪练习
2．因式分解：.
解：原式.
易错点三 用平方差公式分解因式没有分解尽
【例3】 因式分解：.
解：原式.
因式分解要彻底，分解出的每一个因式都要分解到不能再分解为止.计算完毕后，务必检查所有因式是否可以继续分解.
跟踪练习
3．[2024·京口区月考]因式分解：.
解：原式 .
易错点四 用完全平方公式分解因式没有分解尽
【例4】 因式分解：.
解：原式.
因式分解要彻底，分解出的每一个因式都要分解到不能再分解为止.遇到二次三项式，检查是否可以通过完全平方公式继续分解.
跟踪练习
4．[2024·沈阳期中]因式分解：.
解：.
重难点突破
重难点一 因式分解的有关概念
因式分解与整式乘法的联系：它们是互逆运算.
1．[2024·深圳高级期末]下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
2．[2024·龙岗外国语学校期中]将多项式分解因式,正确的结果为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
重难点二 提公因式法分解因式
确定公因式：定系数，取最大公约数；定字母，取相同的字母；定指数，取最低次幂.
3．[2024·高州市期中]下列多项式中，可以提取公因式的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
4．多项式的公因式是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
5．分解因式：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 解：.
（2） .
6．简便计算:.
解：原式.
7．已知实数,满足,，求的值.
解：原式，当，时，原式.
重难点三 利用平方差公式分解因式
使用平方差公式分解因式，多项式有两个平方项，一正一负.
8．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
9．若，,则的值为（ ）.
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
10．[2024·河源期末]若为任意整数，则的值总能（ ）.
A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除
【答案】C
11．因式分解：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式．
重难点四 利用完全平方公式分解因式
使用完全平方公式分解因式，多项式有三项,两平方项同号,另一项满足 的形式.
12．[2024·石景山区期末]把分解因式，结果正确的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
13．[2023·南沙区期末]已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（ ）.
A. 4 B. 8 C. D.
【答案】D
14．因式分解：
（1） ;
（2） ;
（3） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式．
（3） 原式.
重难点五 因式分解与代数式求值
先应用提公因式法或公式法对原式进行因式分解，然后再代入已知条件求值.
15．已知,,求代数式的值.
解：
.
,,
原式.
16．已知,,是的三边，且满足.
（1） 试判断该三角形的形状；
（2） 若,,试求的面积.
【答案】
（1） 解：,
,
,
或,
或,
为直角三角形或等腰三角形.
（2） 若,,则,为直角三角形，,
的面积为.
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思维导图
易错点剖析
易错点一 混淆因式分解与整式乘法
【例1】 [2024·禅城区期末]下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）.
A. B.
C. D.
将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解.因式分解的对象必须是多项式，即只有多项式才有可能因式分解.因式分解的结果要用几个整式的积的形式表示.
跟踪练习
1．[2023春·深圳八年级统考期中]下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）.
A. B.
C. D.
易错点二 提公因式分解因式没有提尽
【例2】 因式分解：.
提公因式时，需要提出多项式各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂.
跟踪练习
2．因式分解：.
易错点三 用平方差公式分解因式没有分解尽
【例3】 因式分解：.
因式分解要彻底，分解出的每一个因式都要分解到不能再分解为止.计算完毕后，务必检查所有因式是否可以继续分解.
跟踪练习
3．[2024·京口区月考]因式分解：.
易错点四 用完全平方公式分解因式没有分解尽
【例4】 因式分解：.
因式分解要彻底，分解出的每一个因式都要分解到不能再分解为止.遇到二次三项式，检查是否可以通过完全平方公式继续分解.
跟踪练习
4．[2024·沈阳期中]因式分解：.
重难点突破
重难点一 因式分解的有关概念
因式分解与整式乘法的联系：它们是互逆运算.
1．[2024·深圳高级期末]下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）.
A. B.
C. D.
2．[2024·龙岗外国语学校期中]将多项式分解因式,正确的结果为（ ）.
A. B. C. D.
重难点二 提公因式法分解因式
确定公因式：定系数，取最大公约数；定字母，取相同的字母；定指数，取最低次幂.
3．[2024·高州市期中]下列多项式中，可以提取公因式的是（ ）.
A. B. C. D.
4．多项式的公因式是（ ）.
A. B. C. D.
5．分解因式：
（1） ；
（2） .
6．简便计算:.
7．已知实数,满足,，求的值.
重难点三 利用平方差公式分解因式
使用平方差公式分解因式，多项式有两个平方项，一正一负.
8．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）.
A. B. C. D.
9．若，,则的值为（ ）.
A. B. C. 1 D. 2
10．[2024·河源期末]若为任意整数，则的值总能（ ）.
A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除
11．因式分解：
（1） ；
（2） ．
重难点四 利用完全平方公式分解因式
使用完全平方公式分解因式，多项式有三项,两平方项同号,另一项满足 的形式.
12．[2024·石景山区期末]把分解因式，结果正确的是（ ）.
A. B. C. D.
13．[2023·南沙区期末]已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（ ）.
A. 4 B. 8 C. D.
14．因式分解：
（1） ;
（2） ;
（3） .
重难点五 因式分解与代数式求值
先应用提公因式法或公式法对原式进行因式分解，然后再代入已知条件求值.
15．已知,,求代数式的值.
16．已知,,是的三边，且满足.
（1） 试判断该三角形的形状；
（2） 若,,试求的面积.
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