第四章《因式分解》达标测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
班级: 姓名: 成绩:
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
2．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4．若多项式能用完全平方公式分解因式，则的值可以是（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】D
5．已知，，则多项式的值为（ ）
A. 30 B. 11 C. 1 D.
【答案】A
6．若多项式因式分解的结果为，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 9
【答案】A
7．已知，，是的三边长，且满足，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】B
8．甲和乙因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是,那么分解因式正确的结果为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．因式分解：____________________．
【答案】
10．因式分解的结果是________________．
【答案】
11．一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：____________________________．
【答案】（答案不唯一）
12．仔细观察下图，各块图形面积之和为，则因式分解____________________．
【答案】
13．定义：任意两个数,，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“鸿蒙数”，若，，比较，的大小，____（填“ ”“ ”或“”）
【答案】
三、解答题（本大题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题6分，第17题8分，第18题8分，第19题11分，第20题12分，共61分）
14．因式分解：
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 解：原式
.
（2） 解：原式
.
15．利用因式分解进行简便计算：
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 解：原式
.
（2） 解：原式
.
16．试说明对于任意自然数，代数式的值都能被6整除.
解：
，
对于任意自然数，代数式 的值都能被6整除.
17．下面是某位同学对多项式进行因式分解的过程．回答下列问题：
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（1） 该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________________________；
（2） 该同学因式分解的结果是否彻底？________（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果;
（3） 以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解．
【答案】（1） 两数和的完全平方公式
（2） 不彻底；
（3） 解：设，则
．
18．仔细观察下列各式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
请你根据以上规律，解决下列问题：
（1） 写出第4个等式：____________________________________；
（2） 写出第（为正整数）个等式，并证明等式成立.
【答案】（1）
（2） 解：第（为正整数）个等式为.
证明：左边
，
左边 右边.等式成立.
19．边长分别为，的正方形如图1放置，阴影面积为，边长分别为，的正方形如图2放置，阴影面积为.
（1） 用含，的代数式表示；
（2） 当，时，求的值；
（3） 当，时，求的值.
【答案】（1） 解：由题意得.
（2） ，，.
（3） 由题意得，，，.
20．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用．
（1）用配方法因式分解：．
解：原式
.
（2）用配方法求代数式的最小值．
解：原式
.
,,的最小值为．
解决问题：
（1） 若代数式是完全平方式，则常数的值为__；
（2） 因式分解：__________________；
（3） 用配方法求代数式的最小值；
拓展应用：
（4） 若实数，满足，求的最小值.
【答案】（1） 25
（2）
（3） 解：，，，的最小值为4.
（4） ，，.
，，的最小值为3．
【解析】
（2） ，故答案为.第四章《因式分解》达标测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
班级: 姓名: 成绩:
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A. B. C. D.
3．下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A. B. C. D.
4．若多项式能用完全平方公式分解因式，则的值可以是（ ）
A. 4 B. C. D.
5．已知，，则多项式的值为（ ）
A. 30 B. 11 C. 1 D.
6．若多项式因式分解的结果为，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 9
7．已知，，是的三边长，且满足，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
8．甲和乙因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是,那么分解因式正确的结果为（ ）
A. B.
C. D.
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．因式分解：____________________．
10．因式分解的结果是________________．
11．一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：____________________________．
12．仔细观察下图，各块图形面积之和为，则因式分解____________________．
13．定义：任意两个数,，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“鸿蒙数”，若，，比较，的大小，____（填“ ”“ ”或“”）
三、解答题（本大题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题6分，第17题8分，第18题8分，第19题11分，第20题12分，共61分）
14．因式分解：
（1） ；
（2） .
15．利用因式分解进行简便计算：
（1） ；
（2） .
16．试说明对于任意自然数，代数式的值都能被6整除.
17．下面是某位同学对多项式进行因式分解的过程．回答下列问题：
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（1） 该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________________________；
（2） 该同学因式分解的结果是否彻底？________（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果;
（3） 以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解．
18．仔细观察下列各式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
请你根据以上规律，解决下列问题：
（1） 写出第4个等式：____________________________________；
（2） 写出第（为正整数）个等式，并证明等式成立.
19．边长分别为，的正方形如图1放置，阴影面积为，边长分别为，的正方形如图2放置，阴影面积为.
（1） 用含，的代数式表示；
（2） 当，时，求的值；
（3） 当，时，求的值.
20．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用．
（1）用配方法因式分解：．
解：原式
.
（2）用配方法求代数式的最小值．
解：原式
.
,,的最小值为．
解决问题：
（1） 若代数式是完全平方式，则常数的值为__；
（2） 因式分解：__________________；
（3） 用配方法求代数式的最小值；
拓展应用：
（4） 若实数，满足，求的最小值.
