第五章《分式与分式方程》达标测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
班级: 姓名: 成绩:
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A. B.
C. D.
2．下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3．在，，，，，中分式有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4．如果把分式中的,同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍
C. 扩大为原来的4倍 D. 不变
5．若分式的计算结果为3，则“？”中的式子是（ ）
A. B. C. D.
6．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A. B. 或 C. 0 D. 0或
7．用换元法解分式方程时，设，那么原方程化成整式方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
8．在题目“甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地， ，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶，可得方程，则题目中“…”表示的条件是（ ）
A. 速度比原计划增加，结果提前到达
B. 速度比原计划增加，结果晚到达
C. 速度比原计划减少，结果提前到达
D. 速度比原计划减少，结果晚到达
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．若分式有意义，则的取值范围是__________．
10．为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4 800元，第二次捐款总额为5 000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为人，那么满足的方程是____________________________．
11．已知，则的值是____．
12．定义新运算：对于非零的两个实数和，规定，如:．若，则的值为________．
13．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________．
三、解答题（本大题共7小题，其中第14题12分，第15题8分，第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题10分，第20题11分，共61分）
14．解分式方程：
（1） ;
（2） ;
（3） .
15．先化简，再求值:
（1） ，其中．
（2） ，从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值．
16．下面是小明进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务:
…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
第五步
任务一：．
① 以上化简步骤中，第__步是通分，通分的依据是______；
A.分式的基本性质
B.等式的性质
C.乘法分配律
② 第__步开始出现错误，错误的原因是：________________________；
任务二：．直接写出该分式化简后的正确结果：________．
17．某传媒公司计划购买，两种型号的演出服．已知型演出服比型演出服每套多30元，且用1 200元购买型演出服的套数与用960元购买型演出服的套数相同．
（1） 求，两种型号的演出服每套分别是多少元.
（2） 该公司计划采购，两种型号的演出服共20套，要求所用费用不得少于2 800元，则至少购进型演出服多少套？
18．阅读下列解题过程：已知，求的值．
解：由，知，，即．
,
.
以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决下面问题：
（1） 已知，，，求的值；
（2） 已知，求的值．
19．我们已经学过，如果关于的分式方程满足（，分别为非零整数），且方程的两个根分别为，.我们称这样的方程为“十字方程”.
例如：可化为，，.
再如：可化为，，.
应用上面的结论解答下列问题：
（1） “十字方程”，则________，______________________________________；
（2） “十字方程”的两个解分别为，，求的值；
（3） 关于的“十字方程”的两个解分别为，，求的值.
20．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共50件．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送 张 兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1．求商品单价
请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2．求奖品的购买方案
求出购买钢笔和笔记本的数量.
任务3．确定兑换方式
运用数学知识，确定符合条件的一种兑换方式．第五章《分式与分式方程》达标测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
班级: 姓名: 成绩:
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
2．下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
3．在，，，，，中分式有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
4．如果把分式中的,同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍
C. 扩大为原来的4倍 D. 不变
【答案】B
5．若分式的计算结果为3，则“？”中的式子是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A. B. 或 C. 0 D. 0或
【答案】B
7．用换元法解分式方程时，设，那么原方程化成整式方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8．在题目“甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地， ，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶，可得方程，则题目中“…”表示的条件是（ ）
A. 速度比原计划增加，结果提前到达
B. 速度比原计划增加，结果晚到达
C. 速度比原计划减少，结果提前到达
D. 速度比原计划减少，结果晚到达
【答案】A
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．若分式有意义，则的取值范围是__________．
【答案】
10．为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4 800元，第二次捐款总额为5 000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为人，那么满足的方程是____________________________．
【答案】
11．已知，则的值是____．
【答案】3
12．定义新运算：对于非零的两个实数和，规定，如:．若，则的值为________．
【答案】
13．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________．
【答案】
三、解答题（本大题共7小题，其中第14题12分，第15题8分，第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题10分，第20题11分，共61分）
14．解分式方程：
（1） ;
（2） ;
（3） .
【答案】（1） 解：，方程可化为，方程两边同乘，得，解得，检验：当 时，，所以原分式方程的解为.
（2） ，方程可化为，方程两边同乘，得，解得，检验：当 时，，所以 不是分式方程的解，所以原分式方程无解．
（3） ，去分母，得，去括号，得，解得，当 时，,所以 是原分式方程的解．
15．先化简，再求值:
（1） ，其中．
（2） ，从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】（1） 解：原式，当 时，原式．
（2） 原式，，，，， 当 时，原式．当 时，原式.
16．下面是小明进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务:
…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
第五步
任务一：．
① 以上化简步骤中，第__步是通分，通分的依据是______；
A.分式的基本性质
B.等式的性质
C.乘法分配律
② 第__步开始出现错误，错误的原因是：________________________；
任务二：．直接写出该分式化简后的正确结果：________．
【答案】① 一；
② 三；去括号时没改变符号
任务二：
17．某传媒公司计划购买，两种型号的演出服．已知型演出服比型演出服每套多30元，且用1 200元购买型演出服的套数与用960元购买型演出服的套数相同．
（1） 求，两种型号的演出服每套分别是多少元.
（2） 该公司计划采购，两种型号的演出服共20套，要求所用费用不得少于2 800元，则至少购进型演出服多少套？
【答案】
（1） 解：设 型演出服每套 元，则 型演出服每套 元，根据题意得，解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意，．
答：型演出服每套150元，型演出服每套120元．
（2） 设购进 型演出服 套，则购进 型演出服 套，根据题意得，解得，又 是正整数，的最小值为14．
答：至少购进 型演出服14套．
18．阅读下列解题过程：已知，求的值．
解：由，知，，即．
,
.
以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决下面问题：
（1） 已知，，，求的值；
（2） 已知，求的值．
【答案】（1） 解：，，，，，，即，，，.又，.
（2） ，，
即，.
又，．
19．我们已经学过，如果关于的分式方程满足（，分别为非零整数），且方程的两个根分别为，.我们称这样的方程为“十字方程”.
例如：可化为，，.
再如：可化为，，.
应用上面的结论解答下列问题：
（1） “十字方程”，则________，______________________________________；
（2） “十字方程”的两个解分别为，，求的值；
（3） 关于的“十字方程”的两个解分别为，，求的值.
【答案】（1） ；（或 ）
（2） 解：由已知可得，，,或,，，.
（3） 由，得，，，而，，且，，，，，.
【解析】
（1） 由已知可得，，，,（或,）.故答案为，（或，）.
20．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共50件．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送 张 兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1．求商品单价
请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2．求奖品的购买方案
求出购买钢笔和笔记本的数量.
任务3．确定兑换方式
运用数学知识，确定符合条件的一种兑换方式．
【答案】20．
任务1 解：设笔记本的单价为 元，则钢笔的单价为 元，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的根，此时.
答：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元．
任务2 设购买钢笔的数量为 支，购买笔记本的数量为 本，根据题意，得 解得
答：购买钢笔的数量为30支，笔记本的数量为20本．
任务3 当购买钢笔的数量为30支，笔记本数量为20本时，设有 张兑换券兑换钢笔，则有 张兑换券兑换笔记本，根据题意，得，整理得，，，.，均为正整数，且 为偶数，可取1，3，5，当 时，，则，成立；当 时，，则，成立；当 时，，则，成立；根据题意可知，当 或5时，赠送的总价为500元或800元，不合理， 文具店赠送2张兑换券，其中1张兑换券兑换钢笔，另1张兑换券兑换笔记本.
答：文具店赠送2张兑换券，其中1张兑换券兑换钢笔，另1张兑换券兑换笔记本．
