第五章 分式与分式方程 章末复习
思维导图
易错点剖析
易错点一 分式值为0时求值，忽略分母不为0
【例1】 [2024·福田外国语学校期中]若分式的值为0，则的值是（ ）.
A. 0 B. C. 4 D. 或4
要使分式的值为0，必须同时满足分子等于0，且分母不等于0这两个条件.分母不等于0是分式有意义的前提.
【答案】B
跟踪练习
1．[2024·揭阳市月考]若分式的值为0，则的值为（ ）.
A. B. 3
C. D. 以上结论都有可能
【答案】B
易错点二 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0
【例2】 [2024·龙岗期末]先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值．
解：原式,
且,, 原式.
对于分式化简求值题，若为自选数值代入时，所取字母的值不仅要使原式有意义，即保证分母不为0，还要保证除式的值不为
跟踪练习
2．[2024·南山区中考一模]先化简，然后从，1，，2中选一个合适的数代入求值．
解：原式,
,,,,,.
当 时，原式.
易错点三 忽视分数线的括号作用
【例3】 计算：.
解：原式.
分数线有除号和括号两重作用，同分母分式相加减（分子是多项式），分子应整体加括号.特别地，分数线前面是减号时，容易因漏掉括号而产生符号错误.
跟踪练习
3．计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
易错点四 解分式方程不验根
【例4】 解方程：
（1） ；
（2） .
因为在方程变形时,有时可能产生增根,因此在解分式方程时，不要忘记将所得结果代入方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解.
【答案】（1） 解：,方程两边都乘，得，解得，检验：当 时，，所以 是增根，即原分式方程无解.
（2） ,方程两边都乘，得，解得，检验：当 时，，所以 是增根，即原分式方程无解．
跟踪练习
4．解方程：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 解：，，解得，检验：当 时，，是原方程的根.
（2） ，，解得，检验：当 时，，是原方程的增根， 原方程无解．
重难点突破
重难点一 分式的有关概念
分式的有关概念主要包括分式的概念和三个相关条件：（1）分式有意义的条件是分母不为0；（2）分式无意义的条件是分母为0；（3）分式的值为0的条件是分子为0,而分母不为0.
1．[2024·深圳罗湖区期末]若分式有意义，则实数的取值范围是（ ）.
A. 一切实数 B.
C. D. 且
【答案】C
2．[2024·信宜市月考]下面选项的值使分式无意义的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
3．[2024·连州市期末]若分式的值为0，则等于（ ）.
A. B. 4 C. 1和 D. 0和4
【答案】A
重难点二 分式的基本性质及有关计算
分式的基本性质是约分、通分的依据,而约分、通分为分式的有关计算奠定了基础.
4．如果把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）.
A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的
C. 扩大为原来的9倍 D. 保持不变
【答案】B
5．计算：________.
【答案】
6．已知，则的值等于（ ）.
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】C
7．先化简，再求值：，并从3，2，1，0这四个数中取一个合适的数作为的值代入求值.
解：原式，，，,,且．当 时，原式;当 时，原式.
重难点三 分式方程的解法
解分式方程的三大步骤：（1）去分母转化为整式方程；（2）求出整式方程的解；（3）经检验即可确定出分式方程的解.解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
8．解方程：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 解：方程两边都乘，得，去括号，得，移项、合并同类项，得，系数化为1，得，检验：当 时，， 原分式方程的解为.
（2） 方程两边都乘，得，去括号，得，移项、合并同类项，得，系数化为1，得，检验：当 时，， 原分式方程无解．
重难点四 分式方程的应用
列方程解应用题的一般步骤：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）验；（6）答.列方程解应用题时要做到双验：一验是不是分式方程的解，二验是否符合题意.
9．[2024春·盐田区期末]一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔500支以上（不包括500支），可以按批发价付款；购买500支以下（包括500支）只能按零售价付款.小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用200元；如果多购买50支，那么可以按批发价付款，同样需用200元．设八年级的学生总数为人．
（1） 直接写出的范围．
（2） 如果按批发价购买550支与按零售价购买500支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
【答案】（1） 解：．
（2） 根据题意,得，
解得，
经检验，是所列方程的根.
答：这个学校八年级学生有500人．
第页第五章 分式与分式方程 章末复习
思维导图
易错点剖析
易错点一 分式值为0时求值，忽略分母不为0
【例1】 [2024·福田外国语学校期中]若分式的值为0，则的值是（ ）.
A. 0 B. C. 4 D. 或4
要使分式的值为0，必须同时满足分子等于0，且分母不等于0这两个条件.分母不等于0是分式有意义的前提.
跟踪练习
1．[2024·揭阳市月考]若分式的值为0，则的值为（ ）.
A. B. 3
C. D. 以上结论都有可能
易错点二 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0
【例2】 [2024·龙岗期末]先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值．
对于分式化简求值题，若为自选数值代入时，所取字母的值不仅要使原式有意义，即保证分母不为0，还要保证除式的值不为
跟踪练习
2．[2024·南山区中考一模]先化简，然后从，1，，2中选一个合适的数代入求值．
易错点三 忽视分数线的括号作用
【例3】 计算：.
分数线有除号和括号两重作用，同分母分式相加减（分子是多项式），分子应整体加括号.特别地，分数线前面是减号时，容易因漏掉括号而产生符号错误.
跟踪练习
3．计算：
（1） ；
（2） .
易错点四 解分式方程不验根
【例4】 解方程：
（1） ；
（2） .
因为在方程变形时,有时可能产生增根,因此在解分式方程时，不要忘记将所得结果代入方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解.
跟踪练习
4．解方程：
（1） ；
（2） .
重难点突破
重难点一 分式的有关概念
分式的有关概念主要包括分式的概念和三个相关条件：（1）分式有意义的条件是分母不为0；（2）分式无意义的条件是分母为0；（3）分式的值为0的条件是分子为0,而分母不为0.
1．[2024·深圳罗湖区期末]若分式有意义，则实数的取值范围是（ ）.
A. 一切实数 B.
C. D. 且
2．[2024·信宜市月考]下面选项的值使分式无意义的是（ ）.
A. B. C. D.
3．[2024·连州市期末]若分式的值为0，则等于（ ）.
A. B. 4 C. 1和 D. 0和4
重难点二 分式的基本性质及有关计算
分式的基本性质是约分、通分的依据,而约分、通分为分式的有关计算奠定了基础.
4．如果把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）.
A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的
C. 扩大为原来的9倍 D. 保持不变
5．计算：________.
6．已知，则的值等于（ ）.
A. 1 B. 0 C. D.
7．先化简，再求值：，并从3，2，1，0这四个数中取一个合适的数作为的值代入求值.
重难点三 分式方程的解法
解分式方程的三大步骤：（1）去分母转化为整式方程；（2）求出整式方程的解；（3）经检验即可确定出分式方程的解.解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
8．解方程：
（1） ；
（2） .
重难点四 分式方程的应用
列方程解应用题的一般步骤：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）验；（6）答.列方程解应用题时要做到双验：一验是不是分式方程的解，二验是否符合题意.
9．[2024春·盐田区期末]一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔500支以上（不包括500支），可以按批发价付款；购买500支以下（包括500支）只能按零售价付款.小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用200元；如果多购买50支，那么可以按批发价付款，同样需用200元．设八年级的学生总数为人．
（1） 直接写出的范围．
（2） 如果按批发价购买550支与按零售价购买500支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
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