第一章 三角形的证明 章末复习
思维导图
易错点剖析
易错点一 对等腰、等边三角形的性质与判定把握不牢
【例1】 下列三角形：①有两个角等于 的三角形；②有一个角等于 的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的是（ ）.
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③ D. ②③④
1.要根据三角形的边角要素，熟练掌握等边三角形的判定定理；
2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，而普通的等腰三角形通常只有一条对称轴.
跟踪练习
1．如图，已知是等边三角形，是边上的一个动点（异于点，），过点作，垂足为，的垂直平分线分别交，于点，，连接，.当点在边上移动时，有下列三个结论：一定为等腰三角形;一定为等边三角形;可能为等腰三角形.其中正确的是________.（填写序号）
易错点二 对直角三角形的性质与判定把握不牢
【例2】 如图，一个含有 角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上.如果 ，那么的度数是（ ）.
A. B. C. D.
1.要熟练掌握直角三角形两锐角互余,以及直角三角尺中锐角的度数；
2.直角三角尺通常会结合平行线性质定理、对顶角相等、三角形的外角定理等知识点来解决问题.
跟踪练习
2．如图，在中， ，点在直线上，点在直线上，且直线， ，则的度数为（ ）.
A. B. C. D.
易错点三 垂直平分线性质定理和判定定理运用不当
【例3】 如图，是中边的垂直平分线，若，，，则的周长是（ ）.
A. 15 B. 17 C. 18 D. 20
1.要审清题意，明确被垂直平分的线段，观察或者构造垂直平分线上的点到线段两端点的线段，运用垂直平分线的性质定理解决问题；
2.运用垂直平分线的性质定理是实现线段等量代换的重要手段，常结合周长问题考查；
3.垂直平分线的判定定理容易被忽略.
跟踪练习
3．[2024·罗湖区期末]如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，，若，的周长为，则的周长为（ ）.
A. B. C. D.
易错点四 不能灵活运用角平分线的性质及判定定理
【例4】 如图，在四边形中， ，，连接，，.若是边上一动点，则长的最小值为（ ）.
A. 1 B. 6 C. 3 D. 12
1.要审清题意，明确被平分的角，观察或者构造角平分线上的点到角两边的垂线段，运用角平分线的性质定理；
2.运用角平分线的性质定理，是实现线段等量代换的重要手段，常结合面积问题考查.
跟踪练习
4．[2024·福田区期中]如图，在中， ，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 无法确定
重难点突破
重难点一 等腰三角形的性质及判定
（1）性质定理：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴；等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）；等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.
1．[2024·龙岗区外国语学校期中]等腰三角形的一个外角是 ，则它的顶角的度数为（ ）.
A. B. 或 C. D. 或
2．[2024·红岭教育集团期中]如图，在中，为钝角，，，点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当是等腰三角形时，运动的时间是（ ）.
第2题图
A. B. C. D.
3．[2024·宝安区10校联考期中]如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若 ，，，则的长度为（ ）
第3题图
A. 2 B. C. D.
4．已知，在中，，于点，求证：.
5．如图，在中，， ，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作 ，交线段于点.
（1） 当 时，__ ，____ ；点从向运动时，逐渐变__（填“大”或“小”）.
（2） 当等于多少时，，请说明理由.
（3） 在点的运动过程中，的形状可能是等腰三角形吗？若可能，请写出的度数,并说明理由.
重难点二 等边三角形的性质与判定
等边三角形的性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对称轴；（2）等边三角形的每个角都等于 .等边三角形的判定：（1）三边相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有两个角是 的三角形是等边三角形；（4）有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.
6．（好题推荐）如图，，为等边三角形， ，则等于（ ）.
第6题图
A. B. C. D.
7．如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且 ，则的长是（ ）.
第7题图
A. B. C. D.
8．如图，等边的边长为4，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于点，则的长为____.
第8题图
9．[2024·深圳市13校联考期中]如图，在中，，且，于点，交的延长线于点，连接．
（1） 求证：；
（2） 若 ，，求的长度．
重难点三 直角三角形的性质与判定
直角三角形是一种特殊的三角形，有一些特殊的性质：①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；②在直角三角形中,两个锐角互余；③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；④直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积；⑤在直角三角形中,如果有一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半;⑥在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 .
10．[2024·北师大南山附属学校期中]如图，在中， ， ，是高，，则的长度为____．
第10题图
11．[2023·宝安实验学校期末]在如图所示的三角形纸片中， ，沿折叠三角形纸片，使点落在边上的点处，若此时点恰好为边靠近点的三等分点，则下列结论： ；；垂直平分；.其中正确的是________.
第11题图
重难点四 中垂线与角平分线的有关计算及实际应用
线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；角平分线的判定：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
12．（好题推荐）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是上任意一点，的周长的最小值是（ ）.
A. 2 B. 12 C. 5 D. 7
13．[2024·百合外国语学校期中]如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）.
第13题图
A. B.
C. D.
14．[2024·宝安中学期中]如图，在中， ，的垂直平分线交于点，垂足为,平分，若，则的长为____．
第14题图
15．（好题推荐）如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，深圳市交警执勤小队从处出发，先到公路上设卡检査，再到公路上设卡检査，最后再到达地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法.
16．如图1，在中，的平分线与的平分线交于点.
图1
（1） 求证：；
（2） 当 ，且时（如图2），判断线段，，之间的数量关系，并加以证明.
图2
第页第一章 三角形的证明 章末复习
思维导图
易错点剖析
易错点一 对等腰、等边三角形的性质与判定把握不牢
【例1】 下列三角形：①有两个角等于 的三角形；②有一个角等于 的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的是（ ）.
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③ D. ②③④
1.要根据三角形的边角要素，熟练掌握等边三角形的判定定理；
2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，而普通的等腰三角形通常只有一条对称轴.
【答案】A
跟踪练习
1．如图，已知是等边三角形，是边上的一个动点（异于点，），过点作，垂足为，的垂直平分线分别交，于点，，连接，.当点在边上移动时，有下列三个结论：一定为等腰三角形;一定为等边三角形;可能为等腰三角形.其中正确的是________.（填写序号）
【答案】
易错点二 对直角三角形的性质与判定把握不牢
【例2】 如图，一个含有 角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上.如果 ，那么的度数是（ ）.
A. B. C. D.
1.要熟练掌握直角三角形两锐角互余,以及直角三角尺中锐角的度数；
2.直角三角尺通常会结合平行线性质定理、对顶角相等、三角形的外角定理等知识点来解决问题.
【答案】A
跟踪练习
2．如图，在中， ，点在直线上，点在直线上，且直线， ，则的度数为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
易错点三 垂直平分线性质定理和判定定理运用不当
【例3】 如图，是中边的垂直平分线，若，，，则的周长是（ ）.
A. 15 B. 17 C. 18 D. 20
1.要审清题意，明确被垂直平分的线段，观察或者构造垂直平分线上的点到线段两端点的线段，运用垂直平分线的性质定理解决问题；
2.运用垂直平分线的性质定理是实现线段等量代换的重要手段，常结合周长问题考查；
3.垂直平分线的判定定理容易被忽略.
【答案】C
跟踪练习
3．[2024·罗湖区期末]如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，，若，的周长为，则的周长为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
易错点四 不能灵活运用角平分线的性质及判定定理
【例4】 如图，在四边形中， ，，连接，，.若是边上一动点，则长的最小值为（ ）.
A. 1 B. 6 C. 3 D. 12
1.要审清题意，明确被平分的角，观察或者构造角平分线上的点到角两边的垂线段，运用角平分线的性质定理；
2.运用角平分线的性质定理，是实现线段等量代换的重要手段，常结合面积问题考查.
【答案】C
跟踪练习
4．[2024·福田区期中]如图，在中， ，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 无法确定
【答案】A
重难点突破
重难点一 等腰三角形的性质及判定
（1）性质定理：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴；等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）；等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.
1．[2024·龙岗区外国语学校期中]等腰三角形的一个外角是 ，则它的顶角的度数为（ ）.
A. B. 或 C. D. 或
【答案】B
2．[2024·红岭教育集团期中]如图，在中，为钝角，，，点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当是等腰三角形时，运动的时间是（ ）.
第2题图
A. B. C. D.
【答案】D
3．[2024·宝安区10校联考期中]如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若 ，，，则的长度为（ ）
第3题图
A. 2 B. C. D.
【答案】B
4．已知，在中，，于点，求证：.
证明：如图，过点 作，垂足为，，，是 的平分线，
.又，， ， ，
,即.
5．如图，在中，， ，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作 ，交线段于点.
（1） 当 时，__ ，____ ；点从向运动时，逐渐变__（填“大”或“小”）.
（2） 当等于多少时，，请说明理由.
（3） 在点的运动过程中，的形状可能是等腰三角形吗？若可能，请写出的度数,并说明理由.
【答案】（1） 25；115；小
（2） 解：当 时，.理由: ， .又 ， ，.又，.
（3） 可能，当 的度数为 或 时，的形状是等腰三角形.理由: ，，， 若 是等腰三角形，只存在 或 两种情况.
当 时，, ，
， ， ， .
当 时， ， , ， ， .
重难点二 等边三角形的性质与判定
等边三角形的性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对称轴；（2）等边三角形的每个角都等于 .等边三角形的判定：（1）三边相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有两个角是 的三角形是等边三角形；（4）有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.
6．（好题推荐）如图，，为等边三角形， ，则等于（ ）.
第6题图
A. B. C. D.
【答案】D
7．如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且 ，则的长是（ ）.
第7题图
A. B. C. D.
【答案】B
8．如图，等边的边长为4，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于点，则的长为____.
第8题图
【答案】2
9．[2024·深圳市13校联考期中]如图，在中，，且，于点，交的延长线于点，连接．
（1） 求证：；
（2） 若 ，，求的长度．
【答案】
（1） 证明：，，，
，是 的平分线.又，，．
（2） 解：是 的平分线， . ， .， ， .， .， ， ， .， ， ， ，是等边三角形，.在 中，， ，，，．
重难点三 直角三角形的性质与判定
直角三角形是一种特殊的三角形，有一些特殊的性质：①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；②在直角三角形中,两个锐角互余；③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；④直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积；⑤在直角三角形中,如果有一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半;⑥在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 .
10．[2024·北师大南山附属学校期中]如图，在中， ， ，是高，，则的长度为____．
第10题图
【答案】3
11．[2023·宝安实验学校期末]在如图所示的三角形纸片中， ，沿折叠三角形纸片，使点落在边上的点处，若此时点恰好为边靠近点的三等分点，则下列结论： ；；垂直平分；.其中正确的是________.
第11题图
【答案】
重难点四 中垂线与角平分线的有关计算及实际应用
线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；角平分线的判定：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
12．（好题推荐）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是上任意一点，的周长的最小值是（ ）.
A. 2 B. 12 C. 5 D. 7
【答案】B
13．[2024·百合外国语学校期中]如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）.
第13题图
A. B.
C. D.
【答案】D
14．[2024·宝安中学期中]如图，在中， ，的垂直平分线交于点，垂足为,平分，若，则的长为____．
第14题图
【答案】2
15．（好题推荐）如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，深圳市交警执勤小队从处出发，先到公路上设卡检査，再到公路上设卡检査，最后再到达地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法.
解：如图所示，分别作出点，关于公路，的对称点，，连接 交，于，两点，连接，，则 即为最短路线.
16．如图1，在中，的平分线与的平分线交于点.
图1
（1） 求证：；
（2） 当 ，且时（如图2），判断线段，，之间的数量关系，并加以证明.
图2
【答案】（1） 证明： ，的平分线 与 的平分线 交于点，，，，,即.
（2） 解：.证明： ， .如图，在 上分别截取，，使，，连接，，则在 和 中，，,同理，，，， ， .
过点 作 于点，于点，则，，,.，.，，.，.
第页
