微专题二 线段的垂直平分线与角的平分线
类型一 线段垂直平分线的相关性质、判定及实际应用
1．[2024春·福田区校级月考]如图，的斜边的垂直平分线与交于点， ，，则的面积为（ ）.
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
2．[2024·福田区期中]如图，有，，三个居民小区，它们的位置可连接成一个三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）.
第2题图
A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处
C. 三条高线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处
3．如图，在中，点在上，且，则点在（ ）.
第3题图
A. 的垂直平分线上 B. 的平分线上
C. 的中点处 D. 的垂直平分线上
4．[2024·红岭教育集团期中]如图，在中， , ,分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点,，作直线，交于点，连接，则的度数为________．
第4题图
5．[2022春·深圳坪山区弘金地学校月考]如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，则的周长等于____.
第5题图
6．[2024·宝安区10校联考期中]如图，在中， ，点是的中点，交于点,点在上，，，，则的长为____．
7．如图，在中，，边的垂直平分线相交于点，分别交边于点，，连接，.
（1） 若的周长为6，求的长；
（2） 若 ，求的度数；
（3） 若 ，，，求的长度.
类型二 角平分线的相关性质、判定及实际应用
8．[2024·光明区期末]如图，在中， ,是的角平分线， ，，过点作于点，则____．
9．[2024·龙岗区外国语学校期中]如图，以直角的一个锐角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直角边于点，交斜边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点.若，，用表示的面积（其他同理），则（ ）
A. B. C. D.
10．[2024·龙岗区华附集团校期中]如图，，，，若 ，，则的长为________．
11．[2024·北师大南山附属学校期中]如图，于点,于点，,.
（1） 求证：平分；
（2） 已知，,求的长．
知平分线上一点，的两边,分别与射线,相交于，两点，且 .过点作，垂足为.
（1） 如图1，当点在线段上时，求证：；
图1
（2） 如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段,与之间的等量关系；
图2
（3） 如图3，在（2）的条件下，若 ，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点.若，，求线段的长.
图3微专题二 线段的垂直平分线与角的平分线
类型一 线段垂直平分线的相关性质、判定及实际应用
1．[2024春·福田区校级月考]如图，的斜边的垂直平分线与交于点， ，，则的面积为（ ）.
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
【答案】A
2．[2024·福田区期中]如图，有，，三个居民小区，它们的位置可连接成一个三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）.
第2题图
A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处
C. 三条高线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处
【答案】D
3．如图，在中，点在上，且，则点在（ ）.
第3题图
A. 的垂直平分线上 B. 的平分线上
C. 的中点处 D. 的垂直平分线上
【答案】A
4．[2024·红岭教育集团期中]如图，在中， , ,分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点,，作直线，交于点，连接，则的度数为________．
第4题图
【答案】
5．[2022春·深圳坪山区弘金地学校月考]如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，则的周长等于____.
第5题图
【答案】8
6．[2024·宝安区10校联考期中]如图，在中， ，点是的中点，交于点,点在上，，，，则的长为____．
【答案】4
7．如图，在中，，边的垂直平分线相交于点，分别交边于点，，连接，.
（1） 若的周长为6，求的长；
（2） 若 ，求的度数；
（3） 若 ，，，求的长度.
【答案】
（1） 解：，边的垂直平分线相交于点，分别交 边于点，，，.
的周长为6，，
.
（2） 如图，假设射线 交 于点，射线 交 于点，在四边形 中， ，
.
，，，， ，
.
（3） 如图，在四边形 中， ， .
，，
，,
，
.
设，则，
在 中，，即，解得，即.
类型二 角平分线的相关性质、判定及实际应用
8．[2024·光明区期末]如图，在中， ,是的角平分线， ，，过点作于点，则____．
【答案】2
9．[2024·龙岗区外国语学校期中]如图，以直角的一个锐角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直角边于点，交斜边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点.若，，用表示的面积（其他同理），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
10．[2024·龙岗区华附集团校期中]如图，，，，若 ，，则的长为________．
【答案】
11．[2024·北师大南山附属学校期中]如图，于点,于点，,.
（1） 求证：平分；
（2） 已知，,求的长．
【答案】
（1） 证明：,， .
在 和 中，
，.
,,平分.
（2） 解： ,,，，
,，
，
.
12．已知点是平分线上一点，的两边,分别与射线,相交于，两点，且 .过点作，垂足为.
（1） 如图1，当点在线段上时，求证：；
图1
（2） 如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段,与之间的等量关系；
图2
（3） 如图3，在（2）的条件下，若 ，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点.若，，求线段的长.
图3
【答案】
（1） 证明：如图1,过点 作，垂足为，平分，,， ， ，.在 和 中，,.
图1
（2） 解：如图2，过点 作,垂足为,平分，，，， , ，.在 和 中,，，，即.
图2
（3） 解：如图3,在 上截取,连接，在 和 中,,是 的平分线，是 的平分线， 点 到，,的距离相等，，， ， ， ， ,.在 和 中，,,.
图3
