第一章《三角形的证明》达标测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
班级: 姓名: 成绩:
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．如图所示，在中，，点在上，且，则等于（ ）
第1题图
A. B. C. D.
2．如图，已知，， ，则的度数为（ ）
第2题图
A. B. C. D.
3．如图，平分，于点，是上的任意一点，若，则的最小值为（ ）
第3题图
A. 3 B. 2 C. 1 D.
4．以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是（ ）
A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1，， D. 2，，4
5．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（ ）
A. 同旁内角互补的两条直线平行
B. 同旁内角互补的两条直线不平行
C. 同旁内角不互补的两条直线平行
D. 同旁内角不互补的两条直线不平行
6．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（ ）
第6题图
A. B. C. D.
7．已知在中，，的垂直平分线交线段于点，若和的周长分别是和，则的腰长和底边的长分别是（ ）
第7题图
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
8．如图，在中，是边上的高，，分别是，的平分线， ， ，则（ ）
第8题图
A. B. C. D.
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．如图，在中，,，是的角平分线，则的长为____．
第9题图
10．如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为__．
第10题图
11．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是__．
12．如图，在中， ，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长为____．
第12题图
13．如图，在中，点，，分别为，，的中点.若，则____.
第13题图
三、解答题（本大题共7小题，其中第14题10分，第15题6分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题10分，第20题10分，共61分）
14．
（1） 如图，在中， ，平分交于点，若，求点到斜边的距离.
（2） 如图,某失联客机从地起飞,飞行到达地,再折返飞行到达地后在雷达上消失,已知 ，求失联客机消失时离起飞的位置地的距离.
15．如图，为数轴的原点，，两点分别对应，3，作腰长为4的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，求点对应的实数.
16．如图，已知， ,点是外一点．
（1） 若，求证：是的垂直平分线；
（2） 若，求的大小．
17．如图，在中，，．
（1） 求证：；
（2） 若 ，平分，请写出的形状,并说明理由．
18．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处.
（1） 试说明；
（2） 设，,，试猜想，，之间的关系，并说明理由.
19．如图，点，在上，，，，与相交于点.
（1） 求证：；
（2） 试判断的形状，并说明理由.
20．
（1） 性质证明：如图1，,分别是的外角平分线，求证：平分；
根据上述证明可以得到这样一条性质：三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线交于一点，我们把这个交点叫做这个三角形的旁心．图1中点就是的一个旁心．
（2） 性质应用：
① 如图2，已知点是的一个旁心，求证：；
② 已知点,,是的三个旁心，，在中， ，，且经过点，求的面积．第一章《三角形的证明》达标测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
班级: 姓名: 成绩:
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．如图所示，在中，，点在上，且，则等于（ ）
第1题图
A. B. C. D.
【答案】D
2．如图，已知，， ，则的度数为（ ）
第2题图
A. B. C. D.
【答案】B
3．如图，平分，于点，是上的任意一点，若，则的最小值为（ ）
第3题图
A. 3 B. 2 C. 1 D.
【答案】B
4．以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是（ ）
A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1，， D. 2，，4
【答案】C
5．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（ ）
A. 同旁内角互补的两条直线平行
B. 同旁内角互补的两条直线不平行
C. 同旁内角不互补的两条直线平行
D. 同旁内角不互补的两条直线不平行
【答案】C
6．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（ ）
第6题图
A. B. C. D.
【答案】C
7．已知在中，，的垂直平分线交线段于点，若和的周长分别是和，则的腰长和底边的长分别是（ ）
第7题图
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【答案】A
8．如图，在中，是边上的高，，分别是，的平分线， ， ，则（ ）
第8题图
A. B. C. D.
【答案】A
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．如图，在中，,，是的角平分线，则的长为____．
第9题图
【答案】4
10．如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为__．
第10题图
【答案】10
11．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是__．
【答案】15
12．如图，在中， ，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长为____．
第12题图
【答案】4
13．如图，在中，点，，分别为，，的中点.若，则____.
第13题图
【答案】4
三、解答题（本大题共7小题，其中第14题10分，第15题6分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题10分，第20题10分，共61分）
14．
（1） 如图，在中， ，平分交于点，若，求点到斜边的距离.
（2） 如图,某失联客机从地起飞,飞行到达地,再折返飞行到达地后在雷达上消失,已知 ，求失联客机消失时离起飞的位置地的距离.
【答案】
（1） 解：如图，过点 作 于点，则 即为所求.
，平分 交 于点，
（角平分线上的点到角的两边的距离相等）.
，,即点 到斜边 的距离为4.
（2） 解：如图，连接,由题意知，，，
.
，为等边三角形，
，
失联客机消失时离起飞位置 地的距离为.
15．如图，为数轴的原点，，两点分别对应，3，作腰长为4的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，求点对应的实数.
解：在等腰 中，，
为 的中点，.
, 根据勾股定理,得，，
点 对应的实数为.
16．如图，已知， ,点是外一点．
（1） 若，求证：是的垂直平分线；
（2） 若，求的大小．
【答案】
（1） 证明：， ，
是等边三角形，.
，是 的垂直平分线.
（2） 解：是等边三角形，是 的垂直平分线,
.
，， .
，， ,
.
17．如图，在中，，．
（1） 求证：；
（2） 若 ，平分，请写出的形状,并说明理由．
【答案】
（1） 证明：，.
，，，.
（2） 解：是等腰直角三角形．理由如下:
， .
平分， .
， ，
，是等腰直角三角形．
18．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处.
（1） 试说明；
（2） 设，,，试猜想，，之间的关系，并说明理由.
【答案】（1） 解：由折叠的性质，得，，在长方形纸片 中，，，，，.
（2） ，，之间的关系是.理由：由（1）知，由折叠的性质，得 ,，.在 中， ，，.
19．如图，点，在上，，，，与相交于点.
（1） 求证：；
（2） 试判断的形状，并说明理由.
【答案】
（1） 证明：，，即.
又，，，.
（2） 解：为等腰三角形.理由：，.
为等腰三角形.
20．
（1） 性质证明：如图1，,分别是的外角平分线，求证：平分；
根据上述证明可以得到这样一条性质：三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线交于一点，我们把这个交点叫做这个三角形的旁心．图1中点就是的一个旁心．
（2） 性质应用：
① 如图2，已知点是的一个旁心，求证：；
② 已知点,,是的三个旁心，，在中， ，，且经过点，求的面积．
【答案】
（1） 证明：如图1，过点 分别作 于点，于点，于点．
平分，，，．
同理得，．
又，，平分.
（2） ① 证明：如图2，延长 至，延长 至，
点 是 的一个旁心，
，分别平分，．
，．
在 中，，
．
又，，
．
；
② 解：如图3，过点 作 于点，过点 作 于点，过点 作 于点，
，， .
点，，是 的三个旁心，
， （由①的结论得出），
， ，，.
， ，，，.
在 中，，的面积，
同理可得 的面积.设，则，，，
在 中，，，.
的面积 的面积 的面积 的面积，
的面积.
