河南省部分学校大联考2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题（含答案）

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大联考
2024—2025学年（上）高二年级期中考试
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线的倾斜角为，且经过点，则的方程为（）
A B.
C. D.
2. 椭圆与，且的（）
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等
C. 焦距相等 D. 离心率相等
3. 已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为，则的方程为（）
A. B.
C. D.
4. 在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（）
A. B. 1 C. 2 D. 3
5. 若直线与圆相离，则点（）
A. 在圆外 B. 在圆内
C. 在圆上 D. 位置不确定
6. 设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左 右焦点，，则的最小值为（）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 4
7. 已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知方程，则（）
A. 当时，方程表示椭圆
B. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
C. 存在，使得方程表示两条直线
D. 存在，使得方程表示抛物线
10. 已知直线的方程为，则下列结论正确的是（）
A. 点不可能在直线上
B. 直线恒过点
C. 若点到直线的距离相等，则
D. 直线上恒存在点，满足
11. 如图，在三棱锥中，平面分别为中点，是的中点，是线段上的动点，则（）
A. 存在，使得
B. 不存在点，使得
C. 的最小值为
D. 异面直线与所成角的余弦值为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点坐标为__________.
13. 若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是__________.
14. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH的面积的比值为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知圆的圆心在直线和直线的交点上，且圆过点.
（1）求圆的方程；
（2）若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系.
16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17. 已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为.
（1）求方程；
（2）过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为3，求的方程.
18. 如图，在斜三棱柱中，平面平面是边长为2的等边三角形，为的中点，且为的中点，为的中点，.
（1）设向量为平面的法向量，证明：；
（2）求点到平面距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
19. 已知双曲线的离心率为2，左 右焦点分别是是的右支上一点，的中点为，且（为坐标原点），是的右顶点，是上两点（均与点不重合）.
（1）求的方程；
（2）若不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值；
（3）若不关于轴对称，且，证明：直线过定点.
大联考
2024—2025学年（上）高二年级期中考试
数学
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】B
2.
【答案】C
3.
【答案】D
4.
【答案】C
5.
【答案】B
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】A
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】BC
10.
【答案】ABD
11.
【答案】BCD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】##
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）先求出两直线的交点，结合两点的距离公式和圆的标准方程计算即可求解；
（2）由题意知的圆心为，半径，结合两圆的位置关系即可下结论.
【小问1详解】
由，得，即圆心坐标为.
，
圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，圆的圆心为，半径.
圆的方程可化为，
则圆的圆心为，半径.
，
，
圆与圆相交.
16.
【解析】
【分析】（1）根据已知数据结合勾股定逆定理可证得，，然后利用线面垂直的判定定理得平面，再由线面垂直的性质可证得结论；
（2）由题意可得两两垂直，所以以为坐标原点，直线分别为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【小问1详解】
证明：，
，
.
，
，
.
平面，
平面，
又平面，
.
【小问2详解】
解：四边形是矩形，，
平面，平面，
，
所以以为坐标原点，直线分别为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为，
则，令，可得，
平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
17.
【解析】
【分析】（1）根据点在抛物线上得，结合抛物线定义列方程求参数，即可得方程；
（2）设直线，联立抛物线，应用韦达定理、弦长及点线距离公式，结合三角形面积列方程求参数t，即可得结果.
【小问1详解】
是上一点，
，则，
由抛物线的定义，知，
，则，
的方程为.
【小问2详解】
由（1），知.
设直线，即，
代入，整理得，
，
，
又点到的距离为，
，
即，解得或（舍去），
直线的方程为，即.
18.
【解析】
【分析】（1）先建立空间直角坐标系，应用面面垂直性质定理得出平面，进而得出法向量,最后应用空间向量数量积运算即可；
（2）应用空间向量法求法向量及向量应用公式运算即可；
（3）应用空间向量法求二面角余弦值即可.
【小问1详解】
如图，连接.
，
平面平面，平面平面平面，
平面.
是边长为2的等边三角形，.
以为坐标原点，直线分别为轴 轴 轴建立空间直角坐标系，则，
.
是平面的一个法向量，令.
，
，
.
【小问2详解】
.
设平面的法向量为，
则
令，可得，
平面的一个法向量为，
点到平面的距离为.
【小问3详解】
.
设平面的法向量为，
则令，可得，
平面的一个法向量为.
由（2）可知平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为..
19.
【解析】
【分析】（1）由题设及双曲线定义得，再结合离心率、双曲线参数关系求双曲线方程；
（2）设且，应用点在双曲线上、中点公式得，即可证结论；
（3）设直线的方程为，联立双曲线，应用韦达定理及向量垂直的坐标表示列方程求参数t，即可证结论.
【小问1详解】
设，连接.
是的中点，是的中点，
，
，则.
又.
，
的方程为.
【小问2详解】
设且
的中点为，则，
是上的两点，①，②，
①②，得，即，
即，可得，
，直线与直线的斜率之积为定值3.
【小问3详解】
易知，且不关于轴对称，
直线的斜率不为0，设直线的方程为，
代入，整理得，
，
，
，解得或（舍去），
直线过定点.
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