江苏省连云港市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

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江苏省连云港市2024-2025学年高三上学期期中调研考试
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．
3.本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
2. 设复数，若，则的值为（）
A. B. C. D.
3. 设，若函数满足，则不等式的解集为（）
A B.
C. D.
4. 已知公差不为0的等差数列的第3，6，10项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为（）
A. B. C. D.
5. 设，，且，则的最小值为（）
A. B. C. D.
6. 若为方程的两个根，则（）
A. B. C. D.
7. 设，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 设P，A，B，C是球表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，球的体积为，二面角的大小为，则三棱锥的体积为（）
A. 2 B. C. D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线m，l，平面，则下列结论正确的有（）
A. 若，则
B若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知函数的图象经过点，将的部分图象沿轴折成直二面角（如图所示），若，则（）
A.
B.
C. 将的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象
D. 函数单调递减区间为
11. 在中，点在边BC上，为AC的中点，BE与AD交于.则下列结论正确的有（）
A.
B. 若，则
C.
D若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域是______.
13. 若，则______.
14. 若直线是曲线的切线，则的最小值是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角，，的对边分别是，，，且，，.
（1）求；
（2）求的值.
16. 已知数列的前项和为，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求和：.
17. 已知椭圆经过点和点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于M，N两点（点在轴的上方），且，若的面积为，求的值.
18. 在四棱锥中，，，，.
（1）如图1，侧面内能否作一条线段，使其与平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；
（2）如图2，若平面，证明：平面；
（3）在（2）的条件下，E为棱上的点，二面角的大小为，求异面直线与所成角的余弦值.
19. 已知函数，其中.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，判断函数在区间上零点的个数，并证明；
（3）若，且，证明：.
江苏省连云港市2024-2025学年高三上学期期中调研考试
数学试题
1.
【答案】A
2.
【答案】B
3.
【答案】A
4.
【答案】C
5.
【答案】B
6.
【答案】D
7.
【答案】C
8.
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】ACD
10.
【答案】AB
11.
【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
【答案】
【解析】
13.
【答案】##0.5
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和同角的三角函数关系化简即可；
（2）法1由余弦定理解出，再由正弦定理和比例关系求解即可；
法2由正弦定理和同角的三角函数以及两角和的正弦展开求解即可；
【小问1详解】
在中，因为，，所以由正弦定理得，
由，所以，得，
因为为三角形内角，所以.
【小问2详解】
法1：由余弦定理得，
所以.正弦定理得，
所以.
法2：因为，，，所以由正弦定理得，
由知，则为锐角，所以，
，
所以.
16.
【解析】
【分析】（1）利用得出数列的递推关系，再由等比数列的定义得证；
（2）用错位相减法求和．
【小问1详解】
时，，
有，又时，，有，
所以数列是以1为首项，公比为2的等比数列．
【小问2详解】
由（1）得数列的通项公式，
设
则①
②
①②得：
.
17.
【解析】
【分析】（1）利用椭圆上的点求出，可求椭圆的离心率；
（2）设出直线方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理和的面积求出的值，再利用韦达定理和求出的值.
【小问1详解】
由椭圆过知，
将代入方程，得，求得，
则．
所以椭圆的离心率.
【小问2详解】
由（1）知椭圆的标准方程为，,
当直线的倾斜角为0时，B、M、N共线，不合题意．
当直线的倾斜角不为0时，设.
得，有，
的面积为，
由的面积为，知，解得.
由，知．
当时，，得解得或.
同理，当时，或．
综上，或.
18.
【解析】
【分析】（1）利用反证法，结合线面平行的性质定理，可得答案；
（2）根据线面垂直判定定理，结合佘弦定理与勾股定理，可得答案；
（3）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角与线线角的向量公式，可得答案.
【小问1详解】
不能.
假设在侧面内存在直线与平行，可得与侧面平行.
依据线面平行性质定理，可得与平行，这与已知条件矛盾.
【小问2详解】
在底面中，，
所以，又，，
由余弦定理得，所以，得
因为平面平面，所以．
又，平面，所以平面.
【小问3详解】
过点作直线垂直平面，
以为原点，分别为x，y轴正方向，为轴，向上为正方向建立空间直角坐标系.
则，
因为为棱上的点，设，
取，
设平面的法向量为，则，
令得，则平面BDE的一个法向量为，
因为平面，所以为平面的法向量，
因为二面角的大小为，
所以，得.
则，
设直线BE与PC所成角为，
则，
所以异面直线BE与PC所成角的余弦值为.
19.
【解析】
【分析】（1）分析的单调性，然后确定出最小值；
（2）分类讨论在和上的单调性，结合零点的存在性定理判断零点个数；
（3）先根据极值点偏移的证明思路先证明，再结合范围通过转化法证明，由此可证明不等式.
【小问1详解】
的定义域为，，
由，得增区间为，得减区间为，
故在处取得最小值．
【小问2详解】
因为，故，由的定义域为，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由在单调递减，且图象在上连续不断，
所以在上有且只有一个零点．
下面证明，令，
又，当单调递减，
故，故，
由在单调递增，且图象在上连续不断，
所以在上有且只有一个零点．
综上，函数在上有个零点．
【小问3详解】
先证，由在递减，在递增，时，
不妨设，令，
则，
故在递增，则有，即，有，则有，
又，且在递增，故有，
则有成立；
再证，由上可得，得，则有，，
要证，即证，又因在递减，
故只需证，即证，即证，
又，得，令，则，
不等式可以转化为，
令，
令，当时，递增，，
则有，故有递增，因此，即时，成立，所以成立，
综上，不等式成立.
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