第一章 直角三角形的边角关系综合题（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
第一章直角三角形的边角关系综合题
一、单选题
1．tan45°的值为（　　）
A． B．1 C． D．
2．如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于（　　）米．
A．asin40° B．acos40° C．atan40° D．
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在 中， ， ， ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
5．下列实数中，是有理数的是（　　）
A． B．cos45° C． D．
6．如图，在山坡上种树，坡度i＝1：2，AB＝5m，则相邻两树的水平距离AC为（　　）
A．5m B． m C．2 m D．10m
7．如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点D与点A的水平距离米，水平赛道米，赛道的坡角均为，则点A的高为(
A．米 B．米
C．米 D．米
8．对于锐角α，sinα的值不可能为（　　）
A． B． C． D．2
9．等腰三角形的底角为15，腰长a为，则此等腰三角形的底长为（　　）
A． B． C． D． a
10．如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，如图2，翻折∠ABC，∠ADC，使两个角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕．设BE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：
①当x＝1时，DP的长为；
②EF＋GH的值随x的变化而变化；
③六边形AEFCHG面积的最大值是；
④六边形AEFCHG周长的值不变．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C＝90，sinA＝ ，则sinB＝　 　.
12．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽是米，坝高为米，斜坡的坡度为，斜坡的坡度为，则坝底宽的长为　 　米．
13．　 　．
14．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为点E，分别交，于点P，Q．若，，则的长为　 　．
15．如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得折痕MN，再把纸片展平，E是AD上一点，将 沿BE折叠，使点A的对应点 落在MN上，若 ，则BE的长是　 　.
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上．顶点的坐标为，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为　 　．
三、计算题
17．（1）计算∶2sin245°-6sin 30°+3tan 45°+4cos 60°．
（2）小明在用公式法解方程x2-5x=2时出现了错误，解答过程如下∶
∵a=1，b=-5，c=2，（第一步）
∴b2-4ac=（-5）2-4×1×2=17，（第二步）
∴x，（第三步）
∴ x1，x2=．（第四步）
①小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误的原因是
②请你写出此题正确的解答过程．
18．计算：|3﹣π|﹣ + ×cos45°．
19．根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背 景 素 材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点_________和点_________
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度．
任务3 换算高度 楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1．
四、解答题
20．“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为，求奇楼的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，）
21．计算：
22．计算：|﹣3|+ tan30°﹣﹣（2008﹣π）0．
23．如图，在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B.求A，B间的距离.（ ≈1.73， ≈1.4，结果保留一位小数）.
24．已知：如图，AD∥BC，AB=CD，对角线CA平分∠BCD，AD=5，tanB= ，求BC的长．
25．小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥，他在A处发现桥的起点B在A点的北偏东的方向上，并测得米，当车前进200米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东的方向上，求桥的长度（精确到米，参考数据：，，，）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形
3．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
4．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
5．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；求特殊角的三角函数值
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
8．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
10．【答案】D
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
11．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
13．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
14．【答案】
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
16．【答案】
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；解直角三角形
17．【答案】（1）3；（2）①一，原方程没有化成一般形式；②x1，x2
【知识点】公式法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值
18．【答案】解：原式=π﹣3+3+3
=π+3
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
19．【答案】规划一：[任务 1]选择点和点；，，，测得图上；[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；规划二：[任务 1]选择点和点．[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
20．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
21．【答案】解：原式=1+ -1+(-3)-3×
=(-3)+ -
=-3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
22．【答案】解：原式=3+ -2-1=3+1﹣2﹣1=1．
（注：只写后两步也给满分．）
【知识点】相反数及有理数的相反数；实数的运算；零指数幂；求特殊角的三角函数值
23．【答案】解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，如图所示.
在Rt△BCD中，sin∠BCD＝ ，cos∠BCD＝ ，
∴BD＝BC sin∠BCD＝20×3× ≈42，CD＝BC cos∠BCD＝20×3× ≈42；
在Rt△ACD中，tan∠ACD＝ ，
∴AD＝CD tan∠ACD＝42× ≈72.2.
∴AB＝AD+BD＝72.2+42＝114.2.
∴A，B间的距离约为114.2海里.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
24．【答案】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，如下图所示，
∵AC平分∠BCD，
∴∠1=∠2.
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
∴AD=DC.∵AD=5，AB=DC，
∴AD=DC=AB=5.
过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F.
∴
在Rt△AEB中，
设AE=3x，则BE=4x.
∵AB=5，
∴
∴x=1(负值舍去).
∴AE=3，BE=4.同理可得FC=4.
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF.
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形。
∴EF=AD=5.
∴BC=13.
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形
25．【答案】米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2 / 10