2.3确定二次函数的表达式（含答案）
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2.3确定二次函数的表达式
一、单选题
1．一条抛物线的开口方向与抛物线相同，顶点为，则其解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．或
2．若二次函数y=x2＋bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx =5的解为（ ）
A． B．
C． D．
3．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为（）
A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4
C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2
4．若二次函数的与的部分对应值如右表，则当时，的值为（ ）
… …
… 0 3 4 3 …
A． B． C．0 D．3
5．抛物线：的顶点的纵坐标为2，若，则有关该函数的最值情况，下列判断正确的是（ ）
甲：最大值为2，最小值为-20；乙：最大值为20，最小值为4；丙：值不确定，故无法求最值
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．只有丙正确 D．甲、乙、丙均不正确
二、填空题
6．已知二次函数图像与x轴相交于点，且，若二次函数经过点，则二次函数表达式为 ．
7．抛物线经过点，那么这个抛物线的开口向 ．
8．某一元二次方程的两个根分别为，，请写出一个经过点，两点二次函数的表达式： (写出一个符合要求的即可)
9．若某条抛物线的顶点坐标为，形状大小、开口方向与抛物线完全相同．则此抛物线的函数表达式为 ．
10．已知抛物线的顶点是，形状与相同，但开口方向相反，则该抛物线解析式为．
11．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点和，点是抛物线上第一象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，则的最大值为．
三、计算题
12．如图，二次函数经过点，，，点是抛物线的顶点，过作x轴的垂线交直线于点．
（1）求此二次函数解析式及点坐标；
（2）连接，求的面积．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点C，D，E，F在抛物线上，其横坐标分别为，连接，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E与抛物线顶点重合时，求点F的坐标；
（3）当的边与y轴垂直时，求点E与点F的纵坐标；
（4）设，探索之间的关系，请直接写出结论．
14．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A、B两点，，与轴交于点，点是抛物线上y轴左侧的一个动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点关于直线的对称点恰好落在y轴上，求点的坐标．
四、解答题
15．已知抛物线．
（1）若顶点在轴上，则__________；
（2）若抛物线经过原点，求此抛物线的顶点坐标．
五、作图题
16．如图，需在公园外的一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的平面直角坐标系，最左边的抛物线可以用表示，已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为，到墙边的距离分别为，．
（1）求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离．
（2）若该墙的长度为，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案？
六、综合题
17．根据以下素材，探索解决下列问题．
素材1：图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．以矩形长的中点为原点O，竖直方向为y轴，水平方向为x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，大棚顶部的最高点为P．
素材2：为了让苗木更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好．
（1）求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式；
（2）若在距离B处水平距离的地方挂补光灯，为了使补光效果最好，求补光灯悬挂部分的长度．（灯的大小忽略不计）
18．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．
19．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到反季节蔬菜．如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度为米，棚顶最高点距离地面高度为米．以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若借助横梁在大棚正中建一个米高的门（到地面的距离为米），求横梁的长度是多少米？（结果保留根号）
七、实践探究题
20．综合与探究
如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．已知，，点P是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个动点，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标；
（2）连接，求面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
2．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用
3．【答案】D
【知识点】二次函数的三种形式；配方法的应用
4．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
5．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
6．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式
7．【答案】下
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
8．【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
9．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
10．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
11．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
12．【答案】（1）抛物线解析式为；
（2）的面积为6
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
13．【答案】（1）；
（2）；
（3）当的边与y轴垂直时，E的纵坐标为12，F的纵坐标为26或E的纵坐标为26，F的纵坐标为44；
（4）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
14．【答案】（1）
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；轴对称的性质；求正切值
15．【答案】（1）
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
16．【答案】（1）1
（2）5
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
17．【答案】（1）
（2）补光灯悬挂部分的长度应是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
18．【答案】（1）解：把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2＋bx＋c
得 ，
解得 ，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x﹣3；
（2）解：把x＝﹣2代入y＝﹣x2＋2x﹣3得y＝﹣4﹣4＋3＝﹣5，
点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），
所以需将抛物线向上平移4个单位
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
19．【答案】（1）
（2）横梁的长度是米为米
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
20．【答案】（1）抛物线的函数表达式为，点C的坐标为，点D的坐标为；
（2）面积的最大值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
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2.3确定二次函数的表达式
一、单选题
1．一条抛物线的开口方向与抛物线相同，顶点为，则其解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．或
2．若二次函数y=x2＋bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx =5的解为（ ）
A． B．
C． D．
3．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为（）
A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4
C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2
4．若二次函数的与的部分对应值如右表，则当时，的值为（ ）
… …
… 0 3 4 3 …
A． B． C．0 D．3
5．抛物线：的顶点的纵坐标为2，若，则有关该函数的最值情况，下列判断正确的是（ ）
甲：最大值为2，最小值为-20；乙：最大值为20，最小值为4；丙：值不确定，故无法求最值
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．只有丙正确 D．甲、乙、丙均不正确
二、填空题
6．已知二次函数图像与x轴相交于点，且，若二次函数经过点，则二次函数表达式为 ．
7．抛物线经过点，那么这个抛物线的开口向 ．
8．某一元二次方程的两个根分别为，，请写出一个经过点，两点二次函数的表达式： (写出一个符合要求的即可)
9．若某条抛物线的顶点坐标为，形状大小、开口方向与抛物线完全相同．则此抛物线的函数表达式为 ．
10．已知抛物线的顶点是，形状与相同，但开口方向相反，则该抛物线解析式为．
11．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点和，点是抛物线上第一象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，则的最大值为．
三、计算题
12．如图，二次函数经过点，，，点是抛物线的顶点，过作x轴的垂线交直线于点．
（1）求此二次函数解析式及点坐标；
（2）连接，求的面积．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点C，D，E，F在抛物线上，其横坐标分别为，连接，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E与抛物线顶点重合时，求点F的坐标；
（3）当的边与y轴垂直时，求点E与点F的纵坐标；
（4）设，探索之间的关系，请直接写出结论．
14．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A、B两点，，与轴交于点，点是抛物线上y轴左侧的一个动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点关于直线的对称点恰好落在y轴上，求点的坐标．
四、解答题
15．已知抛物线．
（1）若顶点在轴上，则__________；
（2）若抛物线经过原点，求此抛物线的顶点坐标．
五、作图题
16．如图，需在公园外的一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的平面直角坐标系，最左边的抛物线可以用表示，已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为，到墙边的距离分别为，．
（1）求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离．
（2）若该墙的长度为，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案？
六、综合题
17．根据以下素材，探索解决下列问题．
素材1：图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．以矩形长的中点为原点O，竖直方向为y轴，水平方向为x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，大棚顶部的最高点为P．
素材2：为了让苗木更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好．
（1）求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式；
（2）若在距离B处水平距离的地方挂补光灯，为了使补光效果最好，求补光灯悬挂部分的长度．（灯的大小忽略不计）
18．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．
19．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到反季节蔬菜．如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度为米，棚顶最高点距离地面高度为米．以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若借助横梁在大棚正中建一个米高的门（到地面的距离为米），求横梁的长度是多少米？（结果保留根号）
七、实践探究题
20．综合与探究
如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．已知，，点P是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个动点，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标；
（2）连接，求面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
2．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用
3．【答案】D
【知识点】二次函数的三种形式；配方法的应用
4．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
5．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
6．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式
7．【答案】下
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
8．【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
9．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
10．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
11．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
12．【答案】（1）抛物线解析式为；
（2）的面积为6
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
13．【答案】（1）；
（2）；
（3）当的边与y轴垂直时，E的纵坐标为12，F的纵坐标为26或E的纵坐标为26，F的纵坐标为44；
（4）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
14．【答案】（1）
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；轴对称的性质；求正切值
15．【答案】（1）
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
16．【答案】（1）1
（2）5
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
17．【答案】（1）
（2）补光灯悬挂部分的长度应是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
18．【答案】（1）解：把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2＋bx＋c
得 ，
解得 ，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x﹣3；
（2）解：把x＝﹣2代入y＝﹣x2＋2x﹣3得y＝﹣4﹣4＋3＝﹣5，
点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），
所以需将抛物线向上平移4个单位
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
19．【答案】（1）
（2）横梁的长度是米为米
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
20．【答案】（1）抛物线的函数表达式为，点C的坐标为，点D的坐标为；
（2）面积的最大值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
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