2.4二次函数的应用（含答案）
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2.41二次函数的应用
一、单选题
1．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽；如果水面下降，则水面宽度增加（ ）
A． B． C． D．
2．中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程．如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，一边靠学校院墙，其它三边用 40 米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形 ABCD 的边 AB=x 米，面积为 S 平方米，则下面关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m．那么水位下降1m时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．用一根长为 的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为 ，面积为 ，则 关于 的函数关系式是 ．
7．小明推铅球，铅球行进高度 与水平距离 之间的关系为 ，则小明推球的成绩是 m.
8．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当每瓶售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，日均销售量(瓶)与每瓶销售价(元)之间满足函数表达式.当售价定为每瓶 元时，所得日均毛利润最大(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价).
9．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是 ．
10．如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2时，测得拱桥内水面宽为12．当水面升高1后，拱桥内水面的宽度为 ．
11．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点之间的距离为 m．
三、计算题
12．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（2）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
13．某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克．
（1）若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？
（2）通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？
四、解答题
14．商场购进一批儿童智力玩具，调查发现：该玩具的月销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，下表是销售单价与月销售量、月销售利润的对应值分别如下：
月销售单价x（元/个） 30 35 40 45
月销售量y（个） 230 180 130 m
月销售利润w（元） 2300 2700 2600 2000
（1）直接写出y与x的函数关系式 ；
（2）根据以上信息填空：
①m= ；该商场购进玩具单价 元/个；
②求w与x的函数关系式，并求出当销售单价x定为多少时，月销售利润最大？
（3）由于生产玩具成本增加，商场购进玩具单价提高n元/个（0＜n≤7，n为整数），商场规定每件玩具售价不能低于40元/个，该商场在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若月销售最大利润是2340元，则n的值是 ．
15．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚饺洁．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为20米，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，求主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离．
五、综合题
16．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．
AI
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当菜地面积为时，栅栏的三边长各为多少？
17．2023年“五一”假期，昆明校场路蓝花楹主题公园成为热门网红打卡地后，公园开始售卖蓝花楹主题雪糕，每根成本价为3元，经调查，每天的销售量（根）与每根的售价（元）之间的函数关系式如图所示．
（1）求与的函数关系式；
（2）设每天的总利润（元），若每根雪糕的售价为整数，则售价定为多少元时，获利最大？最大利润是多少？
18．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式：（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
2．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
3．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
4．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
5．【答案】D
【知识点】矩形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
6．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
7．【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
8．【答案】13
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
9．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
10．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
11．【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
12．【答案】（1）
（2）能达到优秀
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
13．【答案】（1）18元
（2）销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元
【知识点】配方法的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
14．【答案】（1）y=-10x+530
（2）①80；20；②w=-10x2+730x-10600，当销售单价x定为36.5元时，月销售利润最大，最大利润是2722.5元
（3）2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
15．【答案】米
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
16．【答案】（1）
（2），，
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
17．【答案】（1）
（2）每根雪糕的售价定为9元时或者10元时，获利最大，最大利润是420元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
18．【答案】（1）
（2）销售单价应定为70元
（3）80元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
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2.41二次函数的应用
一、单选题
1．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽；如果水面下降，则水面宽度增加（ ）
A． B． C． D．
2．中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程．如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，一边靠学校院墙，其它三边用 40 米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形 ABCD 的边 AB=x 米，面积为 S 平方米，则下面关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m．那么水位下降1m时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．用一根长为 的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为 ，面积为 ，则 关于 的函数关系式是 ．
7．小明推铅球，铅球行进高度 与水平距离 之间的关系为 ，则小明推球的成绩是 m.
8．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当每瓶售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，日均销售量(瓶)与每瓶销售价(元)之间满足函数表达式.当售价定为每瓶 元时，所得日均毛利润最大(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价).
9．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是 ．
10．如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2时，测得拱桥内水面宽为12．当水面升高1后，拱桥内水面的宽度为 ．
11．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点之间的距离为 m．
三、计算题
12．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（2）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
13．某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克．
（1）若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？
（2）通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？
四、解答题
14．商场购进一批儿童智力玩具，调查发现：该玩具的月销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，下表是销售单价与月销售量、月销售利润的对应值分别如下：
月销售单价x（元/个） 30 35 40 45
月销售量y（个） 230 180 130 m
月销售利润w（元） 2300 2700 2600 2000
（1）直接写出y与x的函数关系式 ；
（2）根据以上信息填空：
①m= ；该商场购进玩具单价 元/个；
②求w与x的函数关系式，并求出当销售单价x定为多少时，月销售利润最大？
（3）由于生产玩具成本增加，商场购进玩具单价提高n元/个（0＜n≤7，n为整数），商场规定每件玩具售价不能低于40元/个，该商场在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若月销售最大利润是2340元，则n的值是 ．
15．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚饺洁．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为20米，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，求主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离．
五、综合题
16．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．
AI
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当菜地面积为时，栅栏的三边长各为多少？
17．2023年“五一”假期，昆明校场路蓝花楹主题公园成为热门网红打卡地后，公园开始售卖蓝花楹主题雪糕，每根成本价为3元，经调查，每天的销售量（根）与每根的售价（元）之间的函数关系式如图所示．
（1）求与的函数关系式；
（2）设每天的总利润（元），若每根雪糕的售价为整数，则售价定为多少元时，获利最大？最大利润是多少？
18．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式：（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
2．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
3．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
4．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
5．【答案】D
【知识点】矩形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
6．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
7．【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
8．【答案】13
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
9．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
10．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
11．【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
12．【答案】（1）
（2）能达到优秀
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
13．【答案】（1）18元
（2）销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元
【知识点】配方法的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
14．【答案】（1）y=-10x+530
（2）①80；20；②w=-10x2+730x-10600，当销售单价x定为36.5元时，月销售利润最大，最大利润是2722.5元
（3）2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
15．【答案】米
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
16．【答案】（1）
（2），，
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
17．【答案】（1）
（2）每根雪糕的售价定为9元时或者10元时，获利最大，最大利润是420元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
18．【答案】（1）
（2）销售单价应定为70元
（3）80元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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