第二章 二次函数综合题（含答案）
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第二章二次函数综合题
一、单选题
1．二次函数的图象与x轴交点的情况是（ ）
A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．与m的值有关
2．已知抛物线 ，（1，y1）与（2，y2）是该抛物线上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ）．
A．y1>y2 B．y13．已知点A(1，a)在抛物线y=x2-4x+5上，则点A关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．(-1,-2) B．（-1,2) C．(1,-2) D．(1,2)
4．若将抛物线向上平移个单位后所得的抛物线记为，则抛物线对应的与之间的函数关系式为( )
A． B．
C． D．
5．已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＝0；③a＞2；④ax2+bx+c＝﹣2的根为x1＝x2＝﹣1；⑤若点B（﹣ ，y1）、C（﹣ ，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．关于二次函数y＝﹣x2+3x﹣4，下列说法中正确的是（ ）
A．函数图象的对称轴是直线x＝﹣3
B．函数的有最小值，最小值为﹣4
C．点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，当时，y1＜y2
D．函数值y随x的增大而增大
8．抛物线y=-2（x-3）2-4的顶点坐标（ ）
A． B． C． D．
9．赵州桥的桥拱近似为抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为，当水面离桥拱顶的高度DO为时，水面宽度AB为（ ）.
A．-10m B． C． D．
10．如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中，正确结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．两个正方形的周长之和为20cm，其中一个正方形的边长是xcm，则这两个正方形的面积之和y（cm2）与x（cm）的函数关系式为 ．
12．已知次函数 的一个函数值是2，那么对应的自变量x的值是 ．
13．若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n的值是 ．
14．二次函数y＝（x﹣2）2当2﹣a≤x≤4﹣a，最小值为4，则a的值为 .
15．抛物线 上三点分别为 ，则 的大小关系为 （用“＞”号连接）
16．已知二次函数y1＝2x2-8x+3的图象与y轴交于点A，过点A的直线y2＝kx+b与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），点P（m，n）在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），若n的最大值与最小值的和为1，则点B的横坐标为 ．
三、计算题
17．如图，抛物线与x轴交于点A，点，与y轴交于点C，直线过点A和点C．
（1）求抛物线的解析式：
（2）点P是位于直线上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，分别与x轴、交于点D、E，过点D作交于点F，求的最小值及此时点P的坐标；
（3）在（2）问取得最小值的情况下，将点P向下平移个单位长度得到点，将原抛物线y向左平移1个单位长度得到抛物线y，将直线向右平移9个单位长度得到直线．设抛物线y与直线的交点为点M、N（点M在点N的左边），在y轴上是否存在点Q，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）写出此函数的开口方向、顶点坐标
19．如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ），且AB∥y轴，AD∥x轴． 点P是抛物线 上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点 F．
（1）直接写出点 的坐标；
（2）若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；
（3）以点E为顶点的抛物线 经过点F，当点P在正方形ABCD内部(不包含边)时，求a的取值范围．
四、解答题
20．如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式．
21．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营业阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的最大销售利润最大，最大利润是多少．
22．已知二次函数y＝ax2+bx+3，几组该函数x与y的对应值如表：
x … ﹣1 1 2 …
y … 0 m 3 …
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求m的值．
23．如图，抛物线与x轴负半轴交于点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D是第四象限内抛物线上一点，且，求四边形的面积；
（3）将△ACO绕平面内点P顺时针旋转后，得到（点A，C，O的对应点分别是点），两点刚好在抛物线上，求，P两点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
3．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
9．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
11．【答案】y= 2x2﹣10x+25
【知识点】列二次函数关系式
12．【答案】-3或1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
13．【答案】4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
14．【答案】4或﹣2
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
15．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
16．【答案】 或
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
17．【答案】（1）
（2），
（3）或或或
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
18．【答案】（1）
（2）二次函数的开口向上，顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
19．【答案】（1） ( ， )；
（2）设点 ( ， ).
当四边形 是正方形时， ，
当点 在第二象限时，有 .
解得 ， .
∵ ，
∴ .
∴正方形 的边长为 .
（3）设点 ( ， )，则点E（ ， ），则点F( ， ).
∵ 为抛物线顶点，
∴该抛物线解析式为 .
∵抛物线经过点 ，
∴ ，化简得 .
对于 ，令 ，解得 ； 令 ，解得 .
∵点 在正方形 内部，
∴ ＜ ＜ ，且 .
①当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＜ .
②当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＞ .
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
20．【答案】解：作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，∠B=30°，
则AE= AB= x，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD+BC=60﹣AB﹣CD=60﹣2x，
∴S= （AD+BC）×AE= （60﹣2x）× x=﹣ x2+15x（0＜x＜60）．
【知识点】列二次函数关系式
21．【答案】（1）；（2）34；2240；
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
22．【答案】（1）解：由题得，将x＝﹣1，y＝0和 x＝2，y＝3代入得，
，
解得，
y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：将 x＝1，y＝m 代入得，
m＝﹣12+2×1+3＝4．
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式
23．【答案】（1）
（2）
（3），
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；二次函数的实际应用-几何问题
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第二章二次函数综合题
一、单选题
1．二次函数的图象与x轴交点的情况是（ ）
A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．与m的值有关
2．已知抛物线 ，（1，y1）与（2，y2）是该抛物线上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ）．
A．y1>y2 B．y1
A．(-1,-2) B．（-1,2) C．(1,-2) D．(1,2)
4．若将抛物线向上平移个单位后所得的抛物线记为，则抛物线对应的与之间的函数关系式为( )
A． B．
C． D．
5．已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＝0；③a＞2；④ax2+bx+c＝﹣2的根为x1＝x2＝﹣1；⑤若点B（﹣ ，y1）、C（﹣ ，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．关于二次函数y＝﹣x2+3x﹣4，下列说法中正确的是（ ）
A．函数图象的对称轴是直线x＝﹣3
B．函数的有最小值，最小值为﹣4
C．点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，当时，y1＜y2
D．函数值y随x的增大而增大
8．抛物线y=-2（x-3）2-4的顶点坐标（ ）
A． B． C． D．
9．赵州桥的桥拱近似为抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为，当水面离桥拱顶的高度DO为时，水面宽度AB为（ ）.
A．-10m B． C． D．
10．如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中，正确结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．两个正方形的周长之和为20cm，其中一个正方形的边长是xcm，则这两个正方形的面积之和y（cm2）与x（cm）的函数关系式为 ．
12．已知次函数 的一个函数值是2，那么对应的自变量x的值是 ．
13．若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n的值是 ．
14．二次函数y＝（x﹣2）2当2﹣a≤x≤4﹣a，最小值为4，则a的值为 .
15．抛物线 上三点分别为 ，则 的大小关系为 （用“＞”号连接）
16．已知二次函数y1＝2x2-8x+3的图象与y轴交于点A，过点A的直线y2＝kx+b与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），点P（m，n）在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），若n的最大值与最小值的和为1，则点B的横坐标为 ．
三、计算题
17．如图，抛物线与x轴交于点A，点，与y轴交于点C，直线过点A和点C．
（1）求抛物线的解析式：
（2）点P是位于直线上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，分别与x轴、交于点D、E，过点D作交于点F，求的最小值及此时点P的坐标；
（3）在（2）问取得最小值的情况下，将点P向下平移个单位长度得到点，将原抛物线y向左平移1个单位长度得到抛物线y，将直线向右平移9个单位长度得到直线．设抛物线y与直线的交点为点M、N（点M在点N的左边），在y轴上是否存在点Q，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）写出此函数的开口方向、顶点坐标
19．如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ），且AB∥y轴，AD∥x轴． 点P是抛物线 上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点 F．
（1）直接写出点 的坐标；
（2）若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；
（3）以点E为顶点的抛物线 经过点F，当点P在正方形ABCD内部(不包含边)时，求a的取值范围．
四、解答题
20．如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式．
21．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营业阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的最大销售利润最大，最大利润是多少．
22．已知二次函数y＝ax2+bx+3，几组该函数x与y的对应值如表：
x … ﹣1 1 2 …
y … 0 m 3 …
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求m的值．
23．如图，抛物线与x轴负半轴交于点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D是第四象限内抛物线上一点，且，求四边形的面积；
（3）将△ACO绕平面内点P顺时针旋转后，得到（点A，C，O的对应点分别是点），两点刚好在抛物线上，求，P两点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
3．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
9．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
11．【答案】y= 2x2﹣10x+25
【知识点】列二次函数关系式
12．【答案】-3或1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
13．【答案】4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
14．【答案】4或﹣2
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
15．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
16．【答案】 或
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
17．【答案】（1）
（2），
（3）或或或
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
18．【答案】（1）
（2）二次函数的开口向上，顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
19．【答案】（1） ( ， )；
（2）设点 ( ， ).
当四边形 是正方形时， ，
当点 在第二象限时，有 .
解得 ， .
∵ ，
∴ .
∴正方形 的边长为 .
（3）设点 ( ， )，则点E（ ， ），则点F( ， ).
∵ 为抛物线顶点，
∴该抛物线解析式为 .
∵抛物线经过点 ，
∴ ，化简得 .
对于 ，令 ，解得 ； 令 ，解得 .
∵点 在正方形 内部，
∴ ＜ ＜ ，且 .
①当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＜ .
②当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＞ .
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
20．【答案】解：作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，∠B=30°，
则AE= AB= x，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD+BC=60﹣AB﹣CD=60﹣2x，
∴S= （AD+BC）×AE= （60﹣2x）× x=﹣ x2+15x（0＜x＜60）．
【知识点】列二次函数关系式
21．【答案】（1）；（2）34；2240；
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
22．【答案】（1）解：由题得，将x＝﹣1，y＝0和 x＝2，y＝3代入得，
，
解得，
y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：将 x＝1，y＝m 代入得，
m＝﹣12+2×1+3＝4．
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式
23．【答案】（1）
（2）
（3），
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；二次函数的实际应用-几何问题
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