山东省德州市2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学（含答案）

1
高二数学试题
2024.11
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟.
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.
第Ⅰ卷选择题（共58分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1. 已知直线l的方程为，则l的倾斜角为（）
A30° B. 60° C. 120° D. 150°
2. 已知直线与直线平行，则的值为（）
A. B. C. D. 或
3. 已知双曲线，若点到的渐近线距离为，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
4. 在四面体中，点D为的中点，点E在上，且，用向量，，表示，则（）
A. B.
C. D.
5. 已知圆不经过坐标原点，且与圆相切，则的最大值为（）
A. 1 B. C. D.
6. 已知菱形的边长为2，，现将沿折起，当时，二面角平面角的大小为（）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（）
A. B. C. D.
8. 已知四棱锥的各侧棱与底面所成的角都相等，其各个顶点都在球O的球面上，满足，，，则球O的表面积为（）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知空间中四点，，，，则（）
A. B.
C. 在上的投影数量为 D. 为锐角
10. 已知直线，圆，为圆上任意一点，则（）
A直线过定点
B. 若圆关于直线l对称，则
C. 的最大值为
D. 的最大值为3
11. 在直三棱柱中，，，，，点M为线段的中点，N为线段上的动点，则（）
A.
B. 存在点N使得垂直于平面
C. 若平面，则
D. 直线与平面所成角最大值为
第Ⅱ卷非选择题（共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知三个顶点，，，则边上的高为________.
13. 在三棱锥中，已知，，点P到，的距离均为，那么点P到平面的距离为________.
14. 已知直线与抛物线交于、两点，且（为坐标原点），则________；的面积为________.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在平面直角坐标系中，已知圆C过点，，且圆关于x轴对称.
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知直线l经过点，与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程.
16. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程及；
（2）斜率为的直线与抛物线的交点为、（在第一象限内），与轴的交点为（、不重合），若，求的周长.
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角余弦值.
18. 已知双曲线过点，一条渐近线方程为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点为双曲线右支上一点，，求的最小值；
（3）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值.
19. 已知椭圆的中心为坐标原点，左、右焦点分别为，，椭圆上一点到焦点的最小距离为，直线与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方，点B在x轴下方），当过时，的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）将平面沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）垂直.
①当B为椭圆的下顶点时，求折叠后直线与平面所成角的正弦值；
②求三棱锥体积的最大值.
高二数学试题
2024.11
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1.
【答案】A
2.
【答案】A
3.
【答案】B
4.
【答案】D
5.
【答案】C
6.
【答案】B
7.
【答案】C
8.
【答案】B
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.
【答案】BCD
10.
【答案】BC
11.
【答案】ACD
第Ⅱ卷非选择题（共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】 ①. ②.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.
【解析】
【分析】（1）设出圆心并根据圆上的两点坐标，即可得出圆心和半径可得圆C的标准方程；
（2）利用弦长公式计算求得圆心到直线的距离，即可求得直线方程.
【小问1详解】
由圆关于x轴对称可知圆心在x轴上，
设圆心，半径为；
即可得，解得，半径，
所以圆C的标准方程为
【小问2详解】
当直线l的斜率不存在时，直线方程为，显然不合题意；
当直线l的斜率存在时，设方程为；
易知圆心到直线的距离
又可解得或，
即直线l的方程为或.
16.
【解析】
【分析】（1）由抛物线的定义结合可求得的值，可得出抛物线的方程，再将点的坐标代入抛物线方程，即可求得的值；
（2）设点，则，可得直线的方程为，设点、，则，由平面向量的坐标运算可得出，将直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可求出、、的值，进而可求得的周长.
【小问1详解】
抛物线的焦点为，准线方程为，
由抛物线的定义可得，可得，
所以，抛物线的方程为，
将点的坐标代入抛物线方程可得，解得.
【小问2详解】
设点，则，因为直线的斜率为，则直线的方程为，
设点、，则，
由，可得，则，可得，
联立，可得，，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，可得，，
所以，，可得，
所以，，
，
所以，的周长为.
17.
【解析】
【分析】（1）通过线面垂直的判定定理证明平面即可证得；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可
【小问1详解】
在中，由余弦定理得，解得，
所以，故，
又平面，
所以平面，又平面，
所以；
【小问2详解】
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
故，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
18.
【解析】
【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案；
（2）设，表示出，结合二次函数性质，讨论即可得答案；
（3）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出的表达式，化简即可证明结论.
【小问1详解】
由题意知双曲线过点，一条渐近线方程为，
则，解得，
故双曲线的标准方程为；
【小问2详解】
点为双曲线右支上一点，设，，
则
，
当，即时，最小值为，
当，即时，最小值为；
【小问3详解】
当过点的直线斜率不存在时，方程为，
此时不妨取,则；
当当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，
不妨令，
联立，得，
由于直线过双曲线的右焦点，必有，
直线与双曲线的右支交于，两点，需满足或，
则，
则
，
综合以上可知为定值.
19.
【解析】
【分析】（1）由题意列出方程组，解得的值，直接写出椭圆方程；
（2）①求出平面中坐标，再建立空间直角坐标系得到坐标，利用空间向量求得线面角的正弦值；②在平面内求出坐标的关系，再建立空间直角坐标系得到坐标，从而列出三棱锥的体积的表达式，利用二次函数求得最大值.
【小问1详解】
由题意可得，解得，∴，
∴椭圆的标准方程为：，
【小问2详解】
翻折后，如图：
①当B为椭圆的下顶点时，由题意知，直线，
联立方程组可得，解得或，∴
令原来轴负半轴为轴，则，，，，
∴，，，
设为平面的一个法向量，则，
令，所以，即，
设直线与平面夹角为，
则，
②联立方程组，整理得，
，∴，
设，，则，，，
，，
∴，
令函数，
由二次函数的对称轴：，∴，
所以当时，的体积最大，此时.
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