选择必修第二册 第四章 4.3.2 等比数列的前n项和公式（第1课时）(共26张PPT)

(共26张PPT)
选择必修2
第四章 数列
4.3 等比数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式（第1课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解等比数列的前n项和公式的推导方法（错位相减法）． 1.数学抽象素养和逻辑推理素养.
2.掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题. 2.数学运算素养和逻辑推理素养.
温故知新
等比数列
定义
符号表示
公比
通项公式
等比中项
通项公式推导方法
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列
(n≥2，).
().
an=a1qn-1.
.
公比q可正、可负但不可为零
G是a与b的等比中项 G2=ab(ab>0).
不完全归纳法
累乘法
等差数列的前n项和公式的推导方法
倒序相加法
新知引入
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
已知1000颗粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
让我们一起来分析一下.如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放麦粒数总和就是这个等比数列前64项的和.
S64=1+2+22+23+…+263.
新知探究
由S64=1+2+22+23+…+263. ①
2S64= 2+22+23+…+263+264. ②
②-①，得
S64=264-1，
这种求和的方法,就是错位相减法!
S64=264-1=18446744073709551615>1.84×1019,
已知1000颗粒麦粒的质量为40克，S64×40×10-6（吨）>7336（亿吨）>7.5亿吨.
则发明者所要的麦粒的总质量超过了7336亿吨，是全世界1000多年的小麦总产量.因此，国王不能他们的要求.
新知探究
一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？
设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则{an}的前n项和
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. ①
我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得
qSn= a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn. ②
①-②,可得
方法1：
Sn-qSn=a1-a1qn，即(1-q)Sn=a1(1-qn).
Sn=a1+a2+a3+…+an.
根据等比数列的通项公式，可得
因此，当q≠1时，Sn=.而当q＝1时，Sn＝na1.
错位相减法
新知探究
一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？
设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则{an}的前n项和
根据等比数列的性质，有 ,
. (1-q)Sn=a1-anq.
Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1).
∴Sn=a1+q(Sn-an),即(1-q)Sn=a1-anq.
方法2：
Sn=a1+a2+a3+…+an.
当q≠1时，由等比数列的定义得 ,
因此，当q≠1时，Sn=.而当q＝1时，Sn＝na1.
方法3：
因此，当q≠1时，Sn=.而当q＝1时，Sn＝na1.
新知探究
等比数列的前n项和公式
当q＝1时，Sn＝na1.
当q≠1时，
Sn=. ⑴
Sn=. ⑵
.
注意：
1.注意对q进行分类；
2.当已知a1, q, n 时用公式⑴；当已知a1, q, an时，用公式⑵.
新知探究
【例1】已知数列{an}是等比数列.
⑴若a1=，q=，求S8；
⑵若a1=27，a9=，q<0，求S8；
解：
⑴∵a1=,q=,
∴S8=.
⑵由a1=27，a9=，可得
，即,
∵q<0,.
∴q=.
∴S8=.
新知探究
【例1】已知数列{an}是等比数列.
⑶若a1=8，q=，Sn=，求n；
解：
⑶把a1=8，q=，Sn=代入Sn=，得
.
整理，得 .
解得 n=5.
对于等比数列的相关量a1，an，q，n，Sn，已知几个量就可以确定其他量？
对于等比数列的相关量a1，an，q，n，Sn，已知3个量就可以确定其他量.也就是常见的“知三求二”问题.
初试身手
⑴由Sn=得,
1.已知数列{an}是等比数列.
⑴若a1=，an=16，Sn=11，求n和q；
⑵若a1+a3=10，a4+a6=，求S5.
∴S5=．
解：
∴q＝-2，
⑵由题意，得,
由an=a1qn-1得,
解得,
∴n=5.
知新探究
【例2】已知等比数列{an}的首项为-1，前n项和为Sn.若，求公比q.
解：
方法1：若q=1，则
若q≠1，由，得
.
.
整理，得 ,即,
∴q=-.
∴q≠1，
知新探究
【例2】已知等比数列{an}的首项为-1，前n项和为Sn.若，求公比q.
解：
方法2：
即,
.
∴q=-.
，
初试身手
方法1：⑴若q=1，则a1=a2=a3=7，S3符合要求.
2.已知等比数列{an}中，a3＝7，S3=21．求公比q.
方法2：∵S3=a1+a2+a3=.即，
解：
综上，q=或q=1.
,
⑵若q≠1，由a3＝7，S3=21，得
由得,解得q=或q=1(舍去).
∴2q2-q-1=0,
解得q=或q=1.
知新探究
【例3】已知等比数列{an}的公比q≠-1，前n项和为Sn.证明：Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：
当q=1时，Sn=na1,
S2n-Sn=2na1-na1=na1,
S3n-S2n=3na1-2na1=na1，
当q≠1时，,
∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，公比为1.
S2n-Sn=.
S3n-S2n=.
∴.
因为q为常数，所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，公比为qn.
知新探究
【例3】已知等比数列{an}的公比q≠-1，前n项和为Sn.证明：Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：
S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=qn(a1+a2+…+an)=qnSn,
S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=qn(an+1+an+2+…+a2n)=qn(S2n-Sn)，
∴.
因为q为常数，所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，公比为qn.
想一想，不用分类讨论的方式能否证明该结论？
知新探究
1.若等比数列{an}的公比q≠-1，前n项和为Sn.则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，公比为qn.
2.在等比数列{an}中，若项数有2n项，则；若项数有2n+1项，则
.
等比数列的前n项和的性质
3.若等比数列{an}的公比为q，则(m,n∈N ).
试给出性质2,3的证明.
初试身手
⑴∵S8，S16-S8，S24-S16成等比数列，又S8=10，S16=30，
3.⑴已知等比数列{an}的前8项的和S8=10，前16项的和S16=30，求S24；
⑵已知等比数列{an}的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170.求此数列的公比和项数.
解：
即=2,
∴，
∴S24=70.
想一想，你是否可以找到本题的另一种解法？
初试身手
⑵由等比数列前n项和的性质，得
3.⑴已知等比数列{an}的前8项的和S8=10，前16项的和S16=30，求S24；
⑵已知等比数列{an}的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170.求此数列的公比和项数.
解：
设数列的项数为2n,则
∴=2，
=85+170=255.
解得，n=4.
∴项数2n=8.
知新探究
【例4】设数列{an}的前n项和为Sn，若an=n·2n,求Sn.
解：
∴Sn=1×21+2×22+3×23+…+(n-2)×2n-2+(n-1)×2n-1+n×2n. ①
∵an=n·2n，
①两边同乘以2，得
-Sn=1×21+22+23+…+2n-1+2n-n×2n+1=.
2Sn= 1×22+2×23+3×24+…+(n-2)×2n-1+(n-1)×2n+n·2n+1. ②
=(1-n)·2n+1-2.
①-②，得
∴Sn=(n-1)·2n+1+2.
初试身手
⑴∵方程ax2-3x+2=0的两根为x1=1,x2=b,
4.已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,方程ax2-3x+2=0的解为1和b(b≠1).
⑴求数列{an}的通项公式;
⑵设bn=an·2n,求数列{bn}的前n项和Tn．
∴.
解：
⑵由⑴得bn=(2n-1)·2n,
∴Tn=(2n-3)·2n+1+6.
∴Tn=b1+b2+…+bn=1×2+3×22+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n. ①
解得.
∴an=2n-1.
①两边同乘以2，得2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1. ②
-Tn=1×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)·2n+1=2(2+22+…+2n)-(2n-1)·2n+1-2
①-②，得
=.
课堂小结
1.等比数列的的前n项和.
2.等比数列的前n项和推导方法：错位相减法
3.等比数列的前n项和的简单运用（知三求二问题）.
4.等比数列的前n项和的性质.
.
作业布置
作业： P37 练习 第4，5题
P40-41 习题4.3 第3,5,6,7题
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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