株洲市南方中学2025届高三11月月考试卷
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合 （ 是虚数单位）， ，则 等于 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知一组数据，，，，的平均数为2，方差为，则另一组数据，，，，的平均数、标准差分别为（）
A. 2， B. 2，1 C. 4， D. 4，
3. 已知奇函数，则（）
A. B. 0 C. 1 D.
4. 若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）
A. 24 B. 32 C. 96 D. 128
5. 图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD与平面ATBS的夹角为45°，则（）
A. B. C. D.
6. 在中，角A为，角A平分线AD交BC于点D，已知，且，则（ ）
A. 1 B. C. 9 D.
7. 设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（）
A. B. C. D.
8. 在锐角中，，则取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知随机变量，记，则（）
A. B. C. D.
10. 已知当时，，并且满足，则下列关于函数说法正确的是（）
A. B. 周期
C. 图象关于对称 D. 的图象关于对称
11. 已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（）
A. B.
C. 的值是中最大的 D. 使成立的最大正整数数的值为198
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则__________.
13. 若直线被圆所截得的弦长为，则的最小值为_______．
14. 已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是___________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
（1）若为线段中点，求证：平面．
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
16. 人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为（）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得分.若该答题机器人答对每道题的概率均为，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为，当时，答题结束，机器人挑战成功，当时，答题也结束，机器人挑战失败.
（1）当时，求机器人第一轮答题后累计得分的分布列与数学期望；
（2）当时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.
17. 正数数列满足，且成等差数列，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）求证：．
18. 已知双曲线的右顶点，它的一条渐近线的倾斜角为．
（1）过点（作直线交双曲线于两点（不与点重合），求证：；
（2）若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限，若，求面积的取值范围．
19已知函数.
（1）判断函数在区间上极值点的个数并证明；
（2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前项和.
①证明：；
②问是否存在使得？若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由.株洲市南方中学2025届高三11月月考试卷
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. C
2. C
3. A
4. C
5. A
6. C
7. C
8. D
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. ABD
10. AD
11. ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
13.
14.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值.
【小问1详解】
取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为
16.
【解析】
【分析】（1）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可；
（2）根据超几何分布分类讨论计算即可.
【小问1详解】
当时，第一轮答题后累计得分所有取值为4，3，2，
根据题意可知：，，，
所以第一轮答题后累计得分的分布列为：
4 3 2
所以.
【小问2详解】
当时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A，
此时情况有2种，分别为：
情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；
情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得分的有1轮，第5.6轮都得1分；
所以.
17.
【解析】
【分析】（1）根据题意，由等差中项与等比中项的性质列出方程，结合递推关系可得数列是以为首项，为公差的等差数列，再由数列的通项公式可得数列的通项公式；
（2）根据题意，由裂项相消法分，与分别证明，即可得到结果.
【小问1详解】
成等差数列，成等比数列，
，，
数列为正数数列，，
当时，，，
，且，则，
，，，，
，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，，
当时，满足上式，，
当时，，
当时，满足上式，.
【小问2详解】
证明：
当时，；
当时，；
当时，
.
综上所述，对一切正整数，有.
18.
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的性质得到双曲线的方程，然后设直线的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理和向量证明；
（2）根据和双曲线的方程得到，然后联立直线和渐近线方程得到和，再利用三角形面积公式得到，最后利用函数性质求范围即可.
【小问1详解】
易知，，，，
故双曲线的方程为．
直线的方程为，
联立，
其中，且时，
则，，，
，
．
【小问2详解】
由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0，
故设直线方程为：，
设，
，，
点在双曲线上，，
，
③，
又，
，④，
联立，
，
⑤，⑥，
分别在第一象限和第四象限，，
由④式得：，
⑦，
将⑤⑥代入⑦得：，
，
，
令
由对勾函数性质可得上单调递减，在上单调递增，
，.
19.
【解析】
【分析】（1）求函数在给定区间上的导数，以分子整式构造函数，再次求导，研究该导数在给定区间上与零的大小关系，以判断构造函数的单调性和变号零点的性质，根据极值的定义，可得答案；
（2）①根据（1）可得所在区间，根据极值点的必要条件，进一步缩小其所在区间，根据三角函数的诱导公式，将变为，使其在同一个单调区间，根据函数的单调性，可得与大小关系，可得答案；
②由①可得相邻两个极值之和与零的大小关系，进而得到当为偶数时，和与零大小关系，再根据三角函数的性质，得到奇数时极值与零的大小关系，可得答案.
【小问1详解】
，设，又，
当时，在上单调递减，
，在上无零点；
当时，在上单调递增，
，在上有唯一零点；
当时，在上单调递减，
，在上有唯一零点.
综上，函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，
故函数在区间内恰有两个极值点.
【小问2详解】
①由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为；
在有极大值点，即为，
同理可得，在有极小值点，在有极值点，
由得，，
，
，
由函数在单调递增得，
，
由在单调递减得，
.
②同理，
，
由在上单调递减得，
，且，
当为偶数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，
即，结论成立；
当为奇数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，
即，结论也成立，
综上，对一切成立，故不存在使得.
